σ加法族、有限加法族、半加法族の相互関係

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定義 ( σ加法族 )

を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(1) φ∈X

(2) A∈ ⇒ A

(3) A ( n∈ ) ⇒ ∪1≦n≦∞

このとき、 を 『 X のσ加法族 』 という。

これを 『 σ代数 』 と呼ぶ本もある。

定義 ( 分割 )

Δ を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(1) 「 I、J∈Δ かつ I≠J 」 ⇒ I∩J=φ

(2) UI∈ΔI=X

このとき、Δ を 『 X の分割 』 という。

とくに、ΔΘ に属する集合で構成されているとき、Δ を 『 Θ 分割 』 という。

Δ が空集合の場合は ∪I∈ΔI=φと規約する。

定義 ( 半加法族 )

Θ を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(1) φ∈Θ

(2) A、B∈Θ ⇒ A∩B∈Θ

(3) A、B∈Θ、B⊂A ⇒ A−B の有限 Θ 分割が存在する。

このとき、Θ を 『 X 上の半加法族 』 という。

条件(3)の代わりに、次の条件を書く本もある。

(*) A∈Θ ⇒ A の有限 Θ 分割が存在する。

明らかに、(*)と(2)から、(3)が得られる。

(3)において A−B は Θ に属するとは限らない。

定義 ( 有限加法族 )

Θ を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(1) φ∈Θ

(2) A∈Θ ⇒ AΘ

(3) A、B∈Θ ⇒ A∪B∈Θ

このとき、Θ を 『 X上の有限加法族 』 という。

S13

を X 上のσ加法族とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) X∈

(2) A、B∈ ⇒ A∪B∈

(3) A、B∈ ⇒ A∩B∈

(4) A、B∈ ⇒ A−B∈

(5) A ( n∈ ) ⇒ ∩1≦n≦∞

補足

つまり、σ加法族は和集合、共通部分、差集合などについてすべて閉じている。

これについては本編でも示すが、ここにも証明を書いておく。

(1)の証明

明らかである。(※定義:σ加法族)

(2)の証明

=A、A=B、A=φ(n≧3)とおく。

いま、∪1≦n≦∞ である。

よって、A∪B∈ である。

(3)の証明

いま、A、B である。

よって、(2)より、A∪B である。

よって、(A∪B である。(※定義:σ加法族)

よって、A∩B∈ である。

(4)の証明

いま、A、B∈ である。

よって、(2)より、A∪B∈ である。

よって、(A∪B) である。

よって、A−B∈ である。

(5)の証明

いま、A である。

よって、U1≦n≦∞ である。(※定義:σ加法族)

よって、(∪1≦n≦∞ である。(※定義:σ加法族)

よって、∩1≦n≦∞ である。

S14

σ加法族 ⇒ 有限加法族 ⇒ 半加法族

証明

まず、明らかに、σ加法族 ⇒ 有限加法族である。(※S13)

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Θ を有限加法族とする。

いま、φ∈Θである。(★1)

また、A、B∈Θならば、A∩B∈Θ である。(※S13の証明と同じ)(★2)

A、B∈Θ、A⊂B とおく。

いま、AΘ である。

よって、B−A=B∩AΘ である。

つまり、B−A 自身が B−A の Θ 分割である。(★3)

(★1)〜(★3)より、Θ は半加法族である。