ハーン・バナッハの定理〜ベクトル空間ver

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参考

ハーン・バナッハの定理は、ほとんど前提知識なしで証明できる。

ただし、一般のベクトル空間で述べる場合には、ツォルンの補題が必要となる。

そこで、まずは順序集合・極大元・ツォルンの補題を復習する。

ちなみに、議論をノルム空間に制限することで、ツォルンの補題を用いずに証明することもできる。

復習 ( 順序集合 )

X を集合とする。

ある関係 ≦ が定まっていて、次が成り立つとする。

(1) 任意の x∈X に対して x≦x である。

(2) x、y∈X に対して 「 x≦y かつ y≦x ならば、x=y 」 である。

(3) x、y、z∈X に対して 「 x≦y かつ y≦z ならば、x≦z 」 である。

このとき、≦ を 『 順序関係 』 という。

また、(1)〜(3)を 『 順序の公理 』 という。

例えば、b∈ が a∈ によって割り切れることを a≦b と表してみよう。

このとき、≦ は における順序である。

a≦b かつ a≠b であるとき、a<b と表す。

復習 ( 全順序集合 )

(X、≦)を順序集合とする。

任意の x、y∈X に対し、x≦y または y≦x が定まっているとする。

このとき、(X、≦)を 『 全順序集合 』 という。

復習 ( 部分順序集合 )

(X、≦)を順序集合とする。

A を X の部分集合とする。

を、≦ の A への制限とする。

このとき、明らかに、(A、≦)は順序集合である。

(A、≦)を 『 (X、≦)の部分順序集合 』 という。

つまり、順序集合の部分集合は自然に順序集合と見なせる。

以下、≦ を ≦ と表してよいとする。

復習 ( 極大元〜その1 )

(X、≦)を順序集合とする。

∈X とおく。

<x を満たす x∈X は存在しないとする。

このとき、x を 『 X の極大元 』 という。

復習 ( 極大元〜その2 )

(X、≦)を順序集合とする。

A を X の部分集合とする。

a∈A とおく。

a<x を満たす x∈A は存在しないとする。

このとき、a を 『 A の極大元 』 という。

これは復習(極大元〜その1)を、復習(部分順序集合)に基づいて書き直しただけである。

つまり、実は、復習(極大元〜その2)を書く必要はない。

しかし、このような読み替えはよく用いられるので、これを強調するために書いた。

むろん、極大元は複数個存在する可能性があるし、存在しない可能性もある。

では、どのような仮定があれば、極大元は存在するのであろうか?

この問題は、後で登場する 『 ツォルンの補題 』 によって説明される。

復習 ( 帰納的順序集合 )

X を順序集合とする。

X の任意の全順序部分集合が X において上限をもつとする。

このとき、「 X は帰納的である 」 という。

復習 ( ツォルンの補題 )

帰納的な順序集合は ( 少なくとも1つ ) 極大元をもつ。

ツォルンの補題は 『 選択公理 』 と同値である。

E27 ( ハーン・バナッハの定理〜実数ver )

X を 上のベクトル空間とする。

p:X→ を劣加法的関数とする。

A を X の部分空間とする。

f:A→ を線形汎関数とする。

f(x)≦p(x) on A であるとする。

このとき、線形汎関数 f:X→ が存在して、次を満たす。

(1) f(x)=f(x) on A

(2) f(x)≦p(x) on X

補足

つまり、f を劣加法的関数 p で抑えることができれば、p を超えない f の拡張が存在する。

証明

A≠X とする。

∈X−A とおく。

D={ x+ax|x∈A、a∈ } とおく。

つまり、D は x と A によって生成される部分空間である。

いま、任意の x、y∈A に対して f(x)−f(y)=f(x−y)≦p(x−y)≦p(x+x)+p(−y−x)である。

よって、−p(−y−x)−f(y)≦p(x+x)−f(x) である。

よって、supy∈A{ −p(−y−x)−f(y) }≦infx∈A{ p(x+x)−f(x) } である。

supy∈A{ 、−p(−y−x)−f(y) }≦λ≦infx∈A{ p(x+x)−f(x) } とおく。

g:D→ を g(x+ax)=f(x)+aλ で定める。

いま、g は線形汎関数である。

a=0 の場合について考える。

いま、、g(x)=f(x) on A である。

よって、g(x)≦p(x) on A である。

a>0 の場合について考える。

いま、g(x+ax)=f(x)+aλ≦f(x)+a(p(x/a+x)−f(x/a))=p(x+ax)である。

a<0 の場合について考える。

いま、g(x+ax)=f(x)+aλ≦f(x)+a(−p(−x/a−x)−f(x/a))=p(x+ax)である。

よって、g(x)≦p(x) on D である。

以上により、次が成り立つ。

(*1) g(x)=f(x) on A

(*2) g(x)≦p(x) onD

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A⊂D⊂X とする。

g:D→ を線形汎関数とする。

g(x)=f(x) on A であるとする。

g(x)≦p(x) on D であるとする。

g の定義域 D を D(g) と表す。

このような g 全体を Ω と表す。

上で示したように、Ω≠φ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

g、h∈Ω とおく。

D(g)⊂D(h)、g(x)=h(x) on D(g) であるとする。

つまり、h が g の拡張であるとする。

このとき、g⊂h と表す。

すると、明らかに、⊂ は Ω の順序関係である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Δ を Ω の全順序集合とする。

D=∪g∈ΔD(g) とおく。

x、y∈D とおく。

いま、ある g、h∈Δ が存在して、x∈D(g)、y∈D(h) となる。

また、g⊂h または h⊂g であるとする。( ※Δは全順序 )

ここで、g⊂h であるとする。( h⊂g の場合も同様に議論できる )

いま、D(g)⊂D(h) である。

よって、x、y∈D(h) である。

よって、任意の a、b∈ に対して ax+by∈D(h)⊂D である。

つまり、D はベクトル空間である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈D とおく。

いま、ある g∈Δ が存在して、x∈D(g) となる。

:D→ を f(x)=g(x) で定める。

ただし、f が一意であることを確認する必要がある。

そこで、このことを確認してみよう。

h∈Δ とおき、x∈D(h) であるとする。

いま、g⊂h または h⊂g である。

いずれにしても、g(x)=h(x) である。

よって、f の一意性が示された。

また、明らかに、f は D 上で線形である。

また、明らかに、f(x)=f(x) on A である。

また、明らかに、f(x)≦p(x) on D である。

よって、f∈Ω である。

また、任意の g∈Δ に対して g⊂f である。

よって、f は Δ の上界である。

よって、Δ は上限をもつ。

よって、Ω は ( 少なくとも1つ ) 極大元 f をもつ。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

D(f)≠X と仮定する。(背理法)

∈X−D(f) とおく。

を、x と D(f) によって生成される部分空間とする。

いま、線形汎関数 f:D が存在して、次を満たす。(※上で示した)

(*1) f(x)=f(x) on D(f

(*2) f(x)≦p(x) on D

明らかに、f∈Ω、f⊂f、f≠f である。

これは f が Ω の極大元であることに矛盾する。

よって、D(f)=X である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)〜(★3)より、f は定理の条件を満たしている。

E28 ( ハーン・バナッハの定理〜複素ver )

X を 上のベクトル空間とする。

p:X→ を劣加法的汎関数とする。

A を X の部分空間とする。

f:A→ を線形汎関数とする。

Ref(x)≦p(x) on A であるとする。

このとき、線形汎関数 f:X→ が存在して、次を満たす。

(*1) f(x)=f(x) on A

(*2) Ref(x)≦p(x) on X

証明

x∈A とおく。

いま、f(x)=Ref(x)+iImf(x)=Ref(x)−iRef(ix) である。

g:A→ を g(x)=Ref(x) で定める。

いま、f(x)=g(x)−ig(ix) on A である。

X の係数体 に制限し、X を 上のベクトル空間と見なす。

いま、g は実ベクトル空間 A 上の実線形汎関数である。

つまり、g(ax+by)=ag(x)+bg(y) である。

いま、g(x)=Ref(x)≦p(x) on A である。

よって、実線形汎関数 g:X→ が存在して、次を満たす。(※ハーン・バナッハの定理〜実数ver)

(*3) g(x)=g(x) on A

(*4) g(x)≦p(x) on X

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

:X→ を f(x)=g(x)−ig(ix) で定める。

x、y∈X とおく。

いま、明らかに、f(x+y)=f(x)+f(y) である。

α=a+ib とおく。

いま、



よって、f は複素ベクトル空間 X 上の線形汎関数である。

また、次が成り立つ。

(*5) f(x)=g(x)−ig(ix)=g(x)−ig(ix)=f(x) on A

(*6) Ref(x)=g(x)≦p(x) on X