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定義 ( 直積ノルム空間 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

V×W に対し、次のような演算を定義する。

(*1) (x、y)+(x、y)=(x+x、y+y

(*2) c(x、y)=(cx、cy) ( c∈K )

明らかに、V×W は(*1) と (*2) の演算に関してベクトル空間である。

さらに、V と W はノルム空間であるとして、次のように定義する。

(*3) || (x、y) ||=|| x ||+|| y ||

明らかに、V×W は (*3) に関してノルム空間である。

このとき、V×W を 『 直積ノルム空間 』 という。

D8

V×W を直積ノルム空間とする。

(xn∈⊂V、(yn∈⊂W を点列とする。

x∈V、y∈W とおく。

このとき、次は同値である。

(*1) limn→∞=x、limn→∞=y

(*2) limn→∞(x、y)=(x、y)

また、次は同値である。

(*3) (xn∈、(yn∈ はコーシー列である。

(*4) (x、yn∈ はコーシー列である。

また、次が成り立つ。

(*5) V と W がバナッハ空間ならば、V×W もバナッハ空間である。

(1)⇔(2)の証明

いま、|| (x、y)−(x、y) ||=|| (x−x、y−y) ||=|| x−x ||+|| y−y || である。

よって、成り立つ。

証明

(1)⇔(2)と同様である。

証明

明らかである。

定義 ( 作用素のグラフ )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

T:V→W を作用素とする。

G(T)={ (x、Tx)∈V×W|x∈D(T) } と定義する。

このとき、G(T) を 『 Tのグラフ 』 という。

明らかに、G(T) は V×W の部分空間である。

定義 ( 閉作用素 )

V、W を K 上のノルム空間とする。

T:V→W を作用素とする。

G(T) が V×W の閉集合であるとする。

このとき、T を 『 閉作用素 』 という。

D9

V、W を K 上のノルム空間とする。

T:V→W を作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) T は閉である。

(2) 任意の (xn∈⊂D(T)に対して 「 limn→∞=x かつ limn→∞Tx=y 」 ⇒ 「 x∈D(T) かつ Tx=y 」

証明

(1)を仮定する。

いま、limn→∞(x、Tx)=(x、y) である。(※D8)

また、G(T) は閉集合であり、(x、Tx)∈G(T) である。

よって、(x、y)∈G(T) である。

つまり、x∈D(T) かつ y=Tx である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

(x、y) を G(T) の集積点とする。

つまり、ある点列 (x、Tx)∈G(T) が存在して、limn→∞(x、Tx)=(x、y) となる。

いま、limn→∞=x、limn→∞Tx=y である。(※D8)

よって、x∈D(T) かつ Tx=y である。

よって、(x、y)∈D(T) である。

よって、D(T) は閉集合である。

D10

V、W を K 上のノルム空間とする。

T:V→W を有界作用素とする。

D(T) が V の閉集合であるとする。

このとき、T は閉作用素である。

補足

つまり、D(T)=V ならば、有界作用素 T は自動的に閉となる。

証明

いま、T は連続である。(※有界性⇔連続性)

(xn∈ を D(T) の点列とする。

limn→∞=x、limn→∞Tx=y とする。

いま、x∈D(T) である。

また、Tx=T(limn→∞)=limn→∞Tx=y である。

よって、T は閉である。(※D9)

D11

V、W を K 上のノルム空間とする。

T を V から W への閉作用素とする。

このとき、T−1 は閉である。

証明

G(T−1)={(y、T−1y)∈V×W|y∈D(T−1)} を考える。

−1y=x とおくと、{(Tx、x)∈W×V|x∈D(T) } と表せる。

これは、G(T) の対 (x、Tx) を逆にして表したものである。

よって、G(T−1) は W×V の閉集合である。

定義 ( 拡張 )

T、S を V から W への作用素とする。

G(T)⊂G(S) であるとする。( つまり、D(T)⊂D(S) かつ Tx=Sx ( x∈D(T) ) である )

このとき、S と 『 T の拡張 』 という。

また、T を 『 S の制限 』 という。

また、T⊂S と表す。

定義 ( 閉拡大 )

V、W を K 上のノルム空間とする。

T を、V から W への作用素とする。

ある作用素 S:V→W が存在して、G(S)=G(T) となるとする。

このとき、「 T は閉拡大可能である 」 という。

D12

V、W を K 上のベクトル空間とする。

G を V×W の部分空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) ある作用素 T:V→W が存在して、G(T)=G となる。

(2) (0、y)∈G ⇒ y=0

証明

(1)を仮定する。

いま、(0、y)∈G ⇒ y=T0=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

D={ x∈V | ある y∈W が存在して(x、y)∈G となる } とおく。

(x、y)、(x、y)∈G とおく。

いま、G はベクトル空間である。

よって、(0、y−y)=(x、y)−(x、y)∈G である。

よって、y=y である。

以上により、(x、y)、(x、y)∈G ⇒ y=y である。

つまり、各 x∈D に対し、ある y∈W が一意に存在して、(x、y)∈G となる。

そこで、T:D→W を T(x)=y で定める。

明らかに、T は線形である。

また、D(T)=D、G(T)=G である。

D13

V、W を K 上のノルム空間とする。

T:V→W を作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) T は閉拡大可能である。

(2) 任意の点列 (xn∈⊂D(T)に対し、limn→∞=0 かつ limn→∞Tx=y ⇒ y=0 である。

証明

(1)を仮定する。

いま、G(T) は、ある作用素のグラフに等しい。

(xn∈⊂D(T) に対し、limn→∞=0 かつ limn→∞Tx=y であるとする。

いま、(0、y)∈G(T) である。

よって、y=0 である。(※D12)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

(0、y)∈G(T) とおく。

いま、ある点列 (xn∈⊂D(T) が存在して、limn→∞=0 かつ limn→∞Tx=y である。

よって、y=0 である。

よって、G(T) は、ある作用素のグラフに等しい。(※D12)

つまり、T は閉拡大可能である。