閉作用素

サイトのTOP→理系インデックス
関数解析学のTOP→関数解析インデックス




定義 ( 閉作用素 )

、V をノルム空間とする。

T を V から V への作用素とする。

次の条件(*1)(*2)を考える。

(*1) (vn∈⊂D(T)、v→v∈V、Tv→w∈V(n→∞)

(*2) v∈D(T)、w=Tv

ここで、(*1)⇒(*2)が成り立つとする。

このとき、「 T は閉である 」 という。

また、T を 『 閉作用素 』 という。

C22

、V をノルム空間とする。

T∈B(V、V)とおく。

D(T)=V であるとする。

このとき、Tは閉作用素である。

証明

(vn∈⊂D(T)、v→v∈V、Tv→w∈V(n→∞)とする。

いま、v∈D(T)である。

また、T は連続である。(※C2)

よって、Tv=w である。

よって、T は閉作用素である。

C23

、H をヒルベルト空間とする。

T を H から H への稠密に定義された作用素とする。

このとき、T は閉である。

証明

(vn∈⊂D(T)とする。

→v∈H、T→w∈H とする。

いま、任意の u∈D(T) に対し、(u、T)→(u、w)である。(※B8:内積の連続性)

また、(u、T)=(Tu、v)→(Tu、v)である。(※定義:共役作用素、B8)

よって、(Tu、v)=(u、w)である。

いま、u は任意である。

よって、v∈D(T)である。

また、w=Tv である。

よって、T は閉である。