バナッハ空間、ヒルベルト空間

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定義 ( バナッハ空間 )

完備なノルム空間を 『 バナッハ空間 』 という。

定義 ( ヒルベルト空間 )

完備な内積空間を 『 ヒルベルト空間 』 という。

参考 ( まとめ )

既に示したように、内積空間には自然にノルムが入る。

それは || v ||=(v、v)1/2 によって定義される。

また、ノルム空間には自然に距離が入る。

それは d(v、w)=|| v−w || によって定義される。

つまり、内積空間やノルム空間には自然に距離が入る。

この距離に関して完備であるとき、その内積空間やノルム空間は完備であるという。

これがここまでに述べてきたことである。

高校数学でよく知られているように、ユークリッド空間には内積が入る。

また、微分積分学でよく知られているように、ユークリッド空間は完備である。

また、定義から明らかなように、ヒルベルト空間は自然にバナッハ空間と見なせる。

ここまでの内容を理解することは、関数解析の1つの到達点であると言えるだろう。

むろん、関数解析の世界は奥が深い。

しかし、基本的には、上記の空間を土台として、線形代数や距離空間を組み合わせるだけである。