フーリエ級数展開可能性⇔パーセヴァルの等式

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定義 ( 直交補空間 )

V を内積空間とする。

A を V の空でない部分集合とする。

A の任意の元と直交するベクトル全体を A と表す。

このとき、A を 『 A の直交補空間 』 という。

つまり、A={ v∈V|任意の w∈A に対して(v、w)=0 } である。

B12 ( フーリエ級数展開可能⇔パーセヴァルの等式 )

H をヒルベルト空間とする。

E={φn∈ を H の正規直交系とする。

このとき、次の(1)〜(6)は同値である。

(1) 任意の f∈H がフーリエ級数の形で表される。( つまり f はフーリエ級数展開可能である )



(2) 任意の f、g∈H に対し、次が成り立つ。



(3) 任意の f∈H に対するベッセル不等式について等号が成り立つ。



(4) 任意のφ∈E と直交する f∈H は 0 のみである。( つまり、E={0} )

(5) f、g∈H に対し、任意の n∈ に対して(f、φ)=(g、φ)ならば、f=g である。

(6) span(E)が H において稠密である。( つまり、span(E)=H である )

補足

上記の(1)〜(6)が成り立つとき、E を 『 完全正規直交系 』 という。

むろん、フーリエ級数展開は無限次元の完全性を意味する。

つまり、「 無限次元の正規直交系 」 が 「 有限次元の正規直交基底 」 と同様の役割を演じる。

(*1)や(*2)の式を 『 パーセヴァルの等式 』 という。

補足

この定理は E が有限集合である場合にも成り立つ。

補足

むろん、(5)を次のように書き換えても意味は同じである。(※A11:非退化性)

(*) 任意の n∈ に対して(f、φ)=0 ならば、f=0 である。

(1)⇒(2)の証明

α=(f、φ)、β=(g、φ)とおく。

次のようにおく。



仮定より、|| f−f ||→0、|| g−g ||→0 (N→∞) である。

よって、(f、g)→(f、g) (N→∞) である。(※B8:内積の連続性)

一方、{φn∈ は直交系であるから、



また、次が成り立つ。(※B4:ヘルダーの不等式、B10:ベッセルの不等式)



よって、(*)でN→∞ とすると、右辺は絶対収束する級数である。

よく知られているように、絶対収束する級数は収束する。(※微分積分など)

よって、定理の式(*1)が示された。

(2)⇒(3)の証明

仮定において f=g とおけばよい。

(3)⇒(4)の証明

f∈H とおく。

任意の n∈ に対し、(f、φ)=0 であるとする。

いま、仮定より、



よって、f=0 である。

(4)⇒(5)の証明

いま、Hはベクトル空間である。

よって、f−g∈H である。

よって、(f−g、φ)=(f、φ)−(g、φ)=0 である。

よって、仮定より、f−g=0 である。

(5)⇒(1)の証明 ( 途中までの証明はB11と同じだが、改めてここに書く )

=(f、φ) とおく。

いま、|| f ||<∞ である。( 任意の実数は有限であるから、当然である )

よって、1≦n≦∞|c<∞ である。(※B10:ベッセルの不等式)

よって、ある f∈H が存在して、次を満たす。(※B9:リース・フィッシャーの定理)



つまり、f のフーリエ級数は、ある f∈H に収束する。

つまり、(f、φ)=c=(f、φ)である。

よって、仮定より、f=f である。

よって、



つまり、f がフーリエ級数の形で表された。( f をフーリエ級数展開できた )

(1)⇒(6)の証明

f∈H とおく。

仮定より、次のように表せる。



いま、



むろん、



つまり、任意の f∈H はspan(E)に属する点列の極限として表される。

これは(6)を意味する。

(6)⇒(4)の証明

f∈E とおく。

仮定より、ある点列 f∈span(E)が存在して、limn→∞=f となる。

いま、(f、f)=0 である。

よって、(f、f)=limn→∞(f、f)=0 である。(B8:内積の連続性)

よって、f=0 である。

よって、E={0}である。