可分なヒルベルト空間

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B17

H をヒルベルト空間とする。

D を H の部分空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) D は(Hにおいて)稠密である。

(2) D={0}である。

証明

(1)を仮定する。

v∈D とする。

いま、任意の w∈D に対し、(v、w)=0 である。

また、ある点列 v∈D が存在して、v→v (n→∞)となる。

よって、(v、v)=lim(v、v)=0 である。(※B8:内積の連続性)

よって、v=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

v∈H とおく。

いま、D は閉部分空間である。(※B13)

v∈H とおく。

よって、ある v∈D と v∈D⊥⊥ が一意に存在して、v=v+v と表される。(※B15)

仮定より、v=0 である。

よって、v=v∈D⊥⊥ である。(※B16)

以上により、H= である。

B18

H をヒルベルト空間とする。

A、B を H の部分集合とする。

A⊂B とする。

B は H において稠密であるとする。

A は B において稠密であるとする。

このとき、A も H において稠密である。

証明

v∈H とおく。

いま、B は H において稠密である。

よって、ある v∈B が存在して、v→v (n→∞) となる。

よって、ある N∈ が存在して、n≧N ならば || v−v ||<ε/2 となる。

いま、A は B において稠密である。

よって、各 v に対し、ある w∈A が存在して、w→v (m→∞) となる。

よって、ある M∈ が存在して、m≧M ならば || w−v ||<ε/2 となる。

よって、|| w−v ||≦|| w−v ||+|| v−v ||<εである。

よって、w→v (m→∞) である。

よって、A は H において稠密である。

定義 ( 可分 )

X を距離空間とする。

X は高々可算な稠密部分集合をもつとする。

このとき、「 X は可分である 」 という。

B19 ( 可分なヒルベルト空間は完全正規直交系をもつ )

H をヒルベルト空間とする。

A を H の可算部分集合とする。

Span(A)=H とする。

このとき、H は完全正規直交系をもつ。

証明

A={ v、v、v、・・・}とおく。

任意の n に対し、v、・・・、v は1次独立であるとしても一般性を失わない。

いま、ある正規直交系 E={φn∈ が存在して、Span(A)=Span(E)となる。(※シュミットの正規直交化)

ある w∈H が存在して、任意の n∈ に対し、(φ、w)=0 であるとする。

いま、任意の n∈ に対し、(v、w)=0 である。

よって、任意の u∈Span(A)に対し、(u、w)=0 である。

よって、w∈Span(A) である。

いま、Span(A)は稠密である。

よって、w=0 である。(※B17)

以上により、任意の φ∈E と直交する w∈H は w=0 のみである。

よって、E は完全正規直交系である。(※B12(4))