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注意

V を K 上のベクトル空間とする。

A、B を V の部分集合とする。

次のように定義する。

(*1) A+B={ x+y|x∈A、y∈B }

(*2) cA={ cx|x∈A } ( c∈K )

とくに、{x}+A を x+A と表す。

明らかに、次が成り立つ。

(*) S(x、ε)=x+S(0、ε)

(*) cS(0、ε)=S(0、cε) ( c∈K )

D14

V を K 上のノルム空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A+B

(2) x+x+A

(3) ccA

(1)の証明

z∈ とおく。

いま、z=x+y ( x∈、y∈ ) と表せる。

また、ある (xn∈⊂A、(yn∈⊂B が存在して、limn→∞=x、limn→∞=y となる。

よって、limn→∞(x+y)=x+y である。

よって、x+y∈A+B である。

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

(1)と同様である。

D15

V をバナッハ空間とする。

W をノルム空間とする。

T:V→W を閉作用素とする。

(0、ρ)⊂T(S(0、r)∩D(T)) とする。

このとき、S(0、ρ)⊂T(S(0、r)∩D(T) である。

証明

いま、(0、ρ)T(S(0、r)∩D(T)) である。

このとき、次が成り立つ。

(*1) 任意の y∈W、ε>0 に対し、ある x∈D(T) が存在して、ρ|| x ||≦r|| y || かつ || y−Tx ||<ε である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)の証明

y=0 の場合、x=0 とおけばよい。

y≠0 の場合について考える。

いま、(ρ/|| y ||)y∈(0、ρ) である。

よって、(ρ/|| y ||)y∈T(S(0、r)∩D(T)) である。

よって、ある x∈S(0、r)∩D(T) が存在して、|| (ρ/|| y ||)y−Tx ||<ερ/|| y || となる。

つまり、|| y−T((|| y ||/ρ)x) ||<εである。

ここで、x=(|| y ||/ρ)x とおく。

いま、|| x ||<r である。

よって、ρ|| x ||<r|| y || である。

つまり、(*1)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

∈S(0、ρ) とおく。

いま、|| y ||<ρ である。

よって、ある正数列 (εn∈ が存在して、1≦n≦∞ε<ρ−|| y || となる。(★1)

まず、(*1)より、y と ε>0 に対し、ある x∈D(T) が存在して、次を満たす。

(*2) ρ|| x ||≦r|| y || かつ || y−Tx ||<ε

同様に、(*1)より、y−Tx と ε>0 に対し、ある x∈D(T) が存在して、次を満たす。

(*3) ρ|| x ||≦r|| y−Tx || かつ || y−Tx−Tx ||<ε

同様の操作を繰り返すと、ある点列 (xn∈⊂D(T) が存在して次を満たす。

(*4) ρ|| x ||≦r|| y || かつ ρ|| x ||≦r|| y1≦k≦n−1Tx ||<rεn−1 ( n=2、3、・・・ )

ここで、s1≦k≦n とおく。

いま、(sn∈ は D(T) の点列である。

m<n とすると、

(*5) || s−s ||=|| m+1≦k≦n ||≦m+1≦k≦n|| x ||<(r/ρ)m+1≦k≦nεk−1→0 ( m、n→∞ )

つまり、(εn∈ は D(T) のコーシー列である。

また、V は完備である。

よって、limn→∞ が存在する。

そこで、x=limn→∞ とおく。(★2)

つまり、x=1≦k≦∞ である。

(★1)、(*4)より、|| x ||≦1≦n≦∞|| x ||<(|| y ||+1≦n≦∞ε)r/ρ<r である。

よって、x∈S(0、r) である。

一方、limn→∞ε=0 である。( 念のため、s と ε を混同しないように注意 )

よって、(*4)より、limn→∞Ts=y である。(★3)

よって、(★2)、(★3)より、x∈D(T) かつ Tx=y である。(※D9)

つまり、y∈T(S(0、r)∩D(T)) である。

よって、S(0、ρ)⊂T(S(0、r)∩D(T)) である。

D16 ( 開写像定理 )

V、W をバナッハ空間とする。

T:V→W を閉作用素とする。

R(T)=W であるとする。

このとき、T は開写像である。

補足

「 T が開写像である 」 とは、次の意味である。

(*) 任意の開集合 U⊂V に対して T(U∩D(T)) は開集合である。

証明

いま、W=T(D(T)) である。

また、V=∪1≦n≦∞(0、n) と表せる。

よって、W=T(∪1≦n≦∞(0、n)∩D(T)))=∪1≦n≦∞T(S(0、n)∩D(T)) である。

よって、ある N∈ に対し、T(S(0、N)∩D(T)) は、内点 y をもつ。(※ベールの定理)

つまり、ある ρ>0 に対し、S(y、ρ)⊂T(S(0、N)∩D(T)) である。

ここで、A=T(S(0、N)∩D(T))) とおく。

明らかに、A=−A であり、A+A=T(S(0、2N)∩D(T))) である。

よって、−y∈− である。(※D13)

また、S(0、ρ)=−y+S(y、ρ)⊂A+AT(S(0、2N)∩D(T)) である。(※D14)

よって、S(0、ρ)⊂T(S(0、2N)∩D(T)) である。(※D15)

よって、任意の ε>0 に対し、S(0、(2N)−1ερ)⊂T(S(0、ε)∩D(T)) である。

以上により、次が示された。

(*) 任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、S(0、δ)⊂T(S(0、ε)∩D(T)) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

U を V の開集合とする。

V∈T(U∩D(T)) とおく。

いま、ある x∈U∩D(T) が存在して、y=Tx となる。

また、ある ε>0 が存在して、S(x、ε)⊂U となる。

(*)より、ある δ>0 が存在して、S(0、δ)⊂T(S(0、ε)∩D(T)) となる。

よって、



つまり、y は T(U∩D(T)) の内点である。

よって、T(U∩D(T)) は、W の開集合である。

D17

V、W をバナッハ空間とする。

T:V→W を有界作用素とする。

T は全単射であるとする。

D(T)=V であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) T−1 は全射な有界作用素である。

(2) ある c、c>0 が存在して、c|| x ||≦|| Tx ||≦c|| x || ( x∈V ) となる。

証明

いま、T−1 は全射である。

また、T は閉である。(※D10の補足)

よって、T は開写像である。(※D16)

よって、任意の開集合 U⊂V に対し、(T−1−1(U)=T(U) は W の開集合である。

つまり、T−1 は連続である。

よって、T−1 は有界である。

よって、(2)が成り立つ。(※D1)

D18 ( 閉グラフ定理 )

V、W をバナッハ空間とする。

T:V→W を閉作用素とする。

D(T)=V であるとする。

このとき、T は有界である。

補足

閉グラフ定理は作用素の連続性を示すときに便利である。

証明

いま、V×W はバナッハ空間である。(※D8)

また、G(T) は V×W の閉部分空間である。

よって、G(T) はバナッハ空間である。

:G(T)→V を S(x、Tx)=x で定義する。

いま、S は線形である。

また、x=0 ⇒ Tx=0 である。

つまり、x=0 ⇒ (x、Tx)=(0、0) である。

よって、S は単射である。

また、|| x ||≦|| (x、Tx) || である。

よって、S は有界である。

むろん、S は全射である。

以上により、S は全単射な有界作用素である。

よって、S−1 は E から G(T) への全射な有界作用素である。

:G(T)→W を S(x、Tx)=Tx である。

上と同様に、S は有界作用素である。

よって、T=S−1 は有界である。