ヘルダーの不等式(関数解析ver)

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B3 ( 補題 )

任意の実数 a、b≧0 に対し、次が成り立つ。

証明

a または b が 0 ならば明らかに成り立つ。

そこで、ab≠0 としてよい。

x≧0 に対し、次のように定める。



つまり、h は x=1 で最小値 0 をとる。

よって、



ここで、x=ab−q/p とおいて両辺に b をかけると、



つまり、定理の関係が得られた。

B4 ( ヘルダーの不等式 )

a=(a、・・・、a)、b=(b、・・・、b)∈ に対して次が成り立つ。

証明

a=(a、・・・、a)、b=(b、・・・、b)に対して定理が示されたとする。

いま、λa、μb ( ただしλとμは任意の実数 ) に対して定理が成り立つ。

そこで、最初から 1≦k≦n|a=1、1≦k≦n|b=1としてよい。(★1)

よって、1≦k≦n|a|≦1を示せばよい。(★2)

いま、任意の k=1、・・・、n に対し、|a|≦|a/p+|b/q である。(※B3)

よって、(★1)より、1≦k≦n|a|≦1/p+1/q=1である。

つまり、(★2)が示された。

B5 ( ミンコフスキの不等式 )

a=(a、・・・、a)、b=(b、・・・、b)∈ に対して次が成り立つ。

証明

明らかに、(|a|+|b|)=(|a|+|b|)p−1|a|+(|a|+|b|)p−1|b|である。

a=a、b=b とおき、k=1、・・・、n について和をとると、

すると、次が成り立つ。(※ヘルダーの不等式)



( 上式の計算では (p−1)q=p に注意 )

両辺を (煤i|a|+|b|)1/q で割ると、



よく知られているように、|a+b|≦|a|+|b|である。

よって、定理の式が得られた。