自己共役なコンパクト作用素のスペクトル分解

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参考

一般の自己共役作用素のスペクトル分解は複雑である。

そこで、このページでは自己共役なコンパクト作用素のスペクトル分解を示す。

定義 ( 自己共役作用素 )

H をヒルベルト空間とする。

T:H→H を作用素とする。

D(T)は H において稠密であるとする。

T=T であるとする。

このとき、T を 『 自己共役作用素 』 という。

つまり、x、y∈D(T)に対し、(Tx、y)=(x、Ty)である。

明らかに、自己共役作用素はエルミート変換の一般化である。

F19

T:H→H を自己共役作用素とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) T は閉である。

(2) D(T)=H ならば、T は有界である。

(1)の証明

明らかである。(※C24)

(2)の証明

(1)より、明らかである。(※閉グラフ定理)

F20

T:H→H を有界な自己共役作用素とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) || T ||=sup|| x ||=1|(Tx、x)|=sup|| x ||≦1|(Tx、x)|

証明

λ=sup|| x ||=1|(Tx、x)|とおく。

μ=sup|| x ||≦1|(Tx、x)|とおく。

明らかに、λ≦μである。(★1)

いま、|(Tx、x)|≦|| Tx |||| x ||≦|| T |||| x || である。

よって、μ≦|| T || である。(★2)

いま、|T(x/|| x ||、x/|| x ||)|≦λである。

よって、|(Tx、x)|≦λ|| x || である。(★3)

いま、任意の y、z∈H に対し、次が成り立つ。(※定義:自己共役作用素)



また、(★3)より、次が成り立つ。(※A14:中線定理)



Ty≠0 とする。

z=(|| y ||/|| Ty ||)Ty とおく。

いま、上の不等式より、4|| y |||| Ty ||≦4λ|| y || である。

y≠0 であるから、|| Ty ||≦λ|| y || である。

よって、|| T ||≦λである。(★4)

(★1)、(★2)、(★4)より、λ=μである。

F21

T:H→H を自己共役作用素とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の x∈D(T) に対し、(Tx、x)は実数である。

(2) T の固有値はすべて実数である。

(3) T の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する。

補足

同様のことはエルミート変換に対しても成り立つ。(※固有値問題)

(1)の証明

明らかである。

実際、(Tx、x)=(x、Tx)=(Tx、x) である。

(2)の証明

λ を T の固有値とする。

x をλに属する固有ベクトルとする。

いま、(Tx、x)=(λx、x)=λ|| x || である。

よって、(1)より、λは実数である。

(3)の証明

λ、λ を T の相異なる固有値とする。

を λ に属する固有ベクトルとする。

いま、λ(x、x)=(λ、x)=(Tx、x)=(x、Tx)=λ(x、x)である。

よって、(x、x)=0 である。

F22

T:H→H を自己共役なコンパクト作用素とする。

このとき、T の固有値λと、その固有ベクトル x が存在して、次を満たす。

(*1) |λ|=|| T ||=|(Tx、x)|

(*2) || x ||=1

補足

つまり、これは F19 の解である。

これは楕円方程式の短軸を求める問題に相当する。

証明

T=0 の場合、定理が成り立つことは明らかである。

T≠0 の場合を考える。

いま、ある点列 (xn∈⊂H が存在して、次を満たす。(※F20)

(*) || x ||=1、limn→∞|(Tx、x)|=|| T ||

いま、実数列(Tx、x)は有界である。

よって、ある部分列 xρ(n) が存在して、(Txρ(n)、xρ(n))は収束する。

そこで、λ=limn→∞(Txρ(n)、xρ(n))とおく。

いま、λは実数である。(※F21)

また、|λ|=limn→∞|(Txρ(n)、xρ(n))|=|| T || である。

いま、次が成り立つ。(※定義:自己共役作用素)



よって、limn→∞(Txρ(n)、xρ(n))=0 である。

いま、T はコンパクトである。

また、xρ(n) は有界である。

よって、ある部分列 xμ(ρ(n)) が存在して、Txμ(ρ(n)) は収束する。

簡単のため、xμ(ρ(n)) を改めて x と表す。

=λ−1(Tx−(Tx−λx))と表す。

いま、Tx と Tx−λx は収束する。

よって、x は収束する。

そこで、x=limn→∞ とおく。

いま、x=limn→∞=λ−1limn→∞Tx である。

よって、Tx=limn→∞Tx=λx である。

また、|| x ||=limn→∞|| x ||=1である。(※A8:ノルムの連続性)

つまり、λは固有値であり、x は対応する固有ベクトルである。

また、|(Tx、x)|=|(λx、x)|=|λ||| x ||=|λ|である。

F23

T:H→H を自己共役なコンパクト作用素とする。

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R(T)が有限次元の場合、次が成り立つようにできる。( ただし T≠0 )

(1) |λ|≧・・・≧|λ|>0

(2) Tx=1≦n≦mλ(x、e)e

(3) e は λ に属する固有ベクトルであり、正規直交系である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

R(T)が有限次元でない場合、次が成り立つようにできる。( ただし T≠0 )

(4) |λ|≧|λ|≧・・・>0

(5) Tx=1≦n≦∞λ(x、e)e

(6) e は λ に属する固有ベクトルであり、正規直交系である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

また、次が成り立つ。

(7) (1)や(4)の列には、0 と異なるすべての固有値が含まれるようにできる。

(8) (1)や(3)の列に現れる同一の固有値 λ の個数は、λ に属する固有空間の次元に等しい。

(1)〜(6)の証明

いま、固有値 λ≠0、その固有ベクトル e∈V が存在して次を満たす。(※F22)

(*) || e ||=1、|λ|=|| T ||=(Te、e

ここで、H={ x∈V|(x、e)=0 } とおく。

いま、H はヒルベルト空間である。

また、任意の x∈H に対し、(Tx、e)=(x、Te)=(x、λ)=λ(x、e)=0 である。

よって、T(H)⊂H である。( つまり H は T 不変である )

よって、T を H 上の作用素と見なすことができる。

むろん、T を H 上の自己共役なコンパクト作用素と見なせる。

同様に、e、・・・、e や H、・・・、H が定まる。

つまり、H={ x∈H|(x、e)=0、k=1、・・・、n } である。

明らかに、H はヒルベルト空間である。

また、T(H)⊂H である。

つまり、T は H 上の自己共役なコンパクト作用素である。

また、en+1∈H であり、

(*) || en+1 ||=1、|λn+1|=|| T ||=supx∈H、|| x ||=1|| Tx ||

( 上式の || ・ || は H 上のノルムであることを協調している )

いま、E⊃E⊃E⊃・・・ である。

よって、|| T ||≧|| T ||≧・・・である。

よって、|λ|≧|λ|≧・・・である。

また、明らかに、e は正規直交系である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

R(T)が有限次元である場合について。

いま、上記の操作は有限回で終了する。

つまり、ある H 上で T=0 となる。

各 x∈H に対し、x=x−1≦n≦m(x、e)e とおく。(★)

いま、(x、e)=0 である。

よって、x∈H である。

よって、Tx=0 である。

よって、(★)より、Tx=1≦n≦mλ(x、e)e である。

以上により、(1)〜(3)が示された。

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R(T)が有限次元でない場合について。

いま、上記の操作は無限回繰り返される。

また、λ の重複は有限である。(※F16)

よって、相異なる λ は無限個存在する。

よって、limn→∞λ=0 である。(※F18)

各 x∈H に対し、x=x−1≦n≦m(x、e)e とおく。

いま、(x、e)=0 である。

よって、x∈H である。

また、x=1≦n≦m(x、e)e+x である。

よって、|| x ||1≦n≦m|(x、e)|+|| x || である。

よって、|| x ||≦|| x || である。

また、上と同様に、|λm+1|=|| T || である。

よって、|| Tx−1≦n≦mλ(x、e)e ||=|| Tx ||≦|| T |||| x ||≦|λm+1||| x ||→0 ( m→∞ ) である。

よって、Tx=1≦n≦mλ(x、e)e である。

(7)の証明

0 と異なる固有値λが列(1)に含まれていないと仮定する。(背理法)

x を、λに属する固有ベクトルとする。

いま、Tx=λx≠0 である。

一方、x は(1)の e、・・・、e と直交する。

よって、(1)より、Tx=0 である。

これは矛盾である。

(4)についても同様である。

(8)の証明

W(λ)を、λに属する固有空間とする。

(1)に現れるλの個数が W(λ) の次元より小さいと仮定する。(背理法)

いま、λに属する固有ベクトル x が存在して、(1)の e、・・・、e と直交する。(※Hの構成に注意)

よって、(7)の証明と同様に矛盾が生じる。