可算次元ヒルベルト空間

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P1

(1) L[0、1] において、単関数全体は稠密である。

(2) L[0、1] において、端点が有理数の区間の特性関数の1次結合全体は稠密である。

(3) L[0、1] において、C[0、1] は稠密である。

(4) L[0、1] において、C[0、1] は稠密である。

(5) L[0、1] 可算次元である。

補足

むろん、上記の稠密性は 「 || ・ || は関して稠密 」 という意味である。

例えば、(1)を詳しく述べると次のようになる。

(*) L[0、1] において、単関数全体は || ・ || に関して稠密である。

補足

ちなみに、C[0、1] において(一様ノルムに関して)多項式全体は稠密である。

これは 『 ワイエルシュトラスの多項式近似 』 と呼ばれる。

(1)の証明

まず、a≧b≧0 に対し、(a−b)≦a−b である。

これは k(x)=(a−x)−(a−x) の極大値が x=a/2 となることから分かる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f∈L とおく。

f≧0 の場合について示せば十分である。

ε>0 とおく。

いま、f≧0 であり、f は可測関数である。

よって、ある単関数 φ≦f が存在して、∫(f−φ)<ε となる。(※定義:積分〜非負値ver)

いま、φ=狽An と表せる。

g=煤ic1/pAn とおく。

いま、|| f−g ||=∫|f−g|=∫(f−g)≦∫(f−g)=∫(f−φ)<εである。

つまり、単関数全体は L[0、1]において稠密である。

(2)の証明

[a、b] を区間 [a、b] の特性関数とする。

ε>0 とおく。

いま、有理数 p、q が存在して、|p−q|<ε、|q−b|<ε となる。

また、|| 1[a、b]−1[p、q] ||<2ε である。

つまり、特性関数は、有理数を端点とする特性関数で近似できる。

また、(1)より、L[0、1] の元は単関数で近似できる。

よって、L[0、1] の元は、有理数を端点とする単関数で近似できる。

(3)の証明

[a、b] を区間 [a、b] の特性関数とする。

次のように定義する。



図示すると、



明らかに、f∈C[0、1] である。

また、|| f−1[a、b] ||≦∫|f−1[a、b]|<1/n である。

つまり、1[a、b] を f∈C[0、1] で近似できる。

よって、(1)より、L[0、1] において C[0、1] は稠密である。

(4)の証明

(3)で近似に用いた連続関数を滑らかに改良すればよい。

例えば、a−1/n と a を結ぶ直線を 0 と 1 で極値にもつ3次関数に置き換える。

(5)の証明

次のようにおく。



明らかに、φkn によって両端が有理数となる特性関数を構成できる。(★)

また、(2)より、2進有理数を端点とする特性関数の1次結合全体は L[0、1] において稠密である。

よって、任意の f∈L[0、1] はそれらによって近似できる。

つまり、任意の f∈L[0、1] は φkn の1次結合の極限として表される。

むろん、φkn は可算である。

つまり、L[0、1] は可算次元である。

(★)について補足

例えば、



図示すると、



これらを組み合わせることで 1/2 オーダーの単関数を自由に構成できる。

むろん、一般に φnk を考えることで、1/2 オーダーの単関数を構成できる。

また、任意の有理数は2進有理数として表せる。(★★)

つまり、有理数を端点とする単関数を構成できる。

(★★)について補足

例えば、任意の有理数が x/10+・・・+x/10 の形で表されることは周知であろう。

これは 『 10進小数表示 』 である。

同様に、任意の有理数は x/2+・・・+x/2 の形で表される。

これは 『 2進数小数表示 』 である。

注意

明らかに、上に証明における φnk は L[0、1] において直交する。

とくに、ノルムが 1 になるように正規化した φnk を 『 ハール関数系 』 という。

以下、P1 の応用を簡単に見てみよう。

P2

f を可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

ε>0 とおく。

いま、sinλx∈L[−π、π] である。

よって、ある g∈C[−π、π] が存在して、|| g−f ||<ε となる。(※P1)

いま、



よって、