可測関数

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注意

f:E→[−∞、∞] を関数とする。

次の記号は同じ意味で用いる。

(1) { f>c }

(2) { x∈E|f(x)>c }

(3) f−1(c、∞]

他の場合についても同様に定義する。

例えば、{ a≦f(x)<b } と f−1[a、b) は同じ意味である。

定義 ( 可測関数 )

E⊂ を可測集合とする。( E⊂ と考えてもよい )

f:E→[−∞、∞] を関数とする。

次が成り立つとする。

(*) 任意の実数 c に対し、{ f>c } は可測である。

このとき、「 f は可測である 」 という。

以前に定義したように、可測集合全体を (μ) と表す。

よって、条件(*)を次のように表しても意味は同じである。

(**) 任意の実数 c に対し、{ f>c }∈(μ) である。

参考 ( 可測関数〜抽象ver )

f:X→[−∞、∞] を関数とする。

を X 上のσ加法族とする。

次が成り立つとする。

(*) 任意の a∈ に対し、{ f<a }∈ である。

このとき、f を 『 可測関数 』 という。

また、 に属する集合を 『 可測集合 』 という。

参考 ( 可測関数〜一般ver )

を X のσ加法族とする。

を Y のσ加法族とする。

f:X→Y を写像とする。

任意の B∈ に対し、f−1(B)∈ であるとする。

このとき、「 f は / 可測である 」 という。

が定まっていて誤解の可能性がない場合は、単に 「 f は可測である 」 という。

これは定義(可測関数)や参考(可測関数〜抽象ver)の一般化である。

位相空間の 『 写像の連続性 』 と似ていることが分かるであろう。

よく知られているように、位相空間論では次が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(X、)、(Y、)を位相空間とする。

f:X→Y を写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は連続写像である。

(2) 任意の O∈ に対し、f−1(O)∈ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

位相空間論を知らない人は気にしなくてよい。

ただ、式の形が非常に似ていることが分かるであろう。

B1

E を可測集合とする。

f:E→[−∞、∞] を定値関数とする。

このとき、f は可測関数である。

証明

いま、任意の実数 c に対し、{ f>c } は E または φ である。

また、E と φ は可測集合である。

つまり、{ f>c } は可測である。

よって、f は可測である。

B2

f:E→[−∞、∞] を関数とする。

任意の有理数 r に対し、{ f>r } は可測であるとする。

このとき、f は可測関数とする。

証明

c を任意の実数とする。

いま、ある有理数列 (r) が存在して、r>c かつ limn→∞=c となる。(※S8)

また、{ f>c }=∪1≦n≦∞{ f>r } である。

また、仮定より、{ f>r } は可測である。

よって、{ f>c } は可測である。

B3

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

c を任意の実数とする。

このとき、次の集合はいずれも可測である。

(*) { f≦c }、{ f≧c }、{ f<c }、{ f=c }、{ f<∞ }、{ f>−∞ }、{ f=∞ }、{ f=−∞ }

証明

いま、次が成り立つ。

(*1) { f≦c }=E−{ f>c }

(*2) { f≧c }=∩1≦n≦∞{ f>c−1/n }

(*3) { f<c }=E−{ f≧c }

(*4) { f=c }={ f≧c }∩{ f≦c }

(*5) { f<∞ }=∪1≦n≦∞{ f<n }

(*6) { f>−∞ }=∪1≦n≦∞{ f>−n }

(*7) { f=∞ }=E−{ f<∞ }

(*8) { f=−∞ }=E−{ f>−∞ }

まず、明らかに、(*1)、(*2)、(*6)は可測である。

また、(*2)より、(*3)は可測である。

また、(*1)、(*2)より、(*4)は可測である。

また、(*3)より、(*5)は可測である。

また、(*5)より、(*7)は可測である。

また、(*6)より、(*8)は可測である。

B4

E を可測集合とする。

f:E→[−∞、∞] を関数とする。

次のいずれかが成り立つとする。

(*1) 任意の実数 c に対し、{ f≧c } は可測である。

(*2) 任意の実数 c に対し、{ f≦c } は可測である。

(*3) 任意の実数 c に対し、{ f<c } は可測である。

このとき、f は可測関数である。

証明

いま、次が成り立つ。

(**1) { f>c }=∪1≦n≦∞{ f≧c+1/n }

(**2) { f>c }=E−{ f≦c }

(**3) { f>c }=E−∩1≦n≦∞{ f<c+1/n }

まず、(**1)より、(*1)から f の可測性を得る。

また、(**2)より、(*2)から f の可測性を得る。

また、(**3)より、(*3)から f の可測性を得る。

B5

f、g:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) { f>g } は可測である。

(2) { f≧g } は可測である。

(3) { f=g } は可測である。

(1)の証明

x∈E とおく。

f(x)>g(x) であるとする。

いま、ある有理数 r が存在して、f(x)>r>g(x) となる。(※S8)

このような有理数全体は可算集合である。(※S9)

そこで、これを { r、r、・・・ } と表す。

いま、{ f>g }=∪1≦n≦∞{ f>r>g }=∪1≦n≦∞({f>r}∩{g<r}) である。

また、{ f>r } と { g<r } は可測である。(※B3)

よって、{ f>g } は可測である。

(2)の証明

いま、{ f≧g }=E−{ g>f } である。

よって、{ f≧g } も可測である。

(3)の証明

いま、{ f=g }={ f≧g }∩{ g≧f } である。

よって、(2)より、{ f=g } も可測である。

B6

f、g:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) af+bg ( a、b∈ ) は可測である。

(2) fg は可測である。

(3) f/g は可測である。

(1)の証明

a=b=0 の場合、af+bg は可測である。(※B1)

a≠0 の場合について示す。( b≠0 の場合も同様 )

いま、a>0 ⇒ { af+b>c }={ f>(c−b)/a } である。

また、a<0 ⇒ { af+b>c }={ f<(c−b)/a } である。

よって、af+b は可測である。(★)

いま、a>0 ⇒ { af+bg>c }={ f>−(b/a)g+c/a } である。

また、a<0 ⇒ { af+bg>c }={ f<−(b/a)g+c/a } である。

よって、(★)より、af+bg は可測である。(※B5)

(2)の証明

いま、c≧0 ⇒ { f>c }={ f>c1/2 }∪{ f<−c1/2 } である。

また、c<0 ⇒ { f>c }=E である。

よって、f は可測である。(★)

(1)より、f+g と f−g は可測である。

よって、(★)より、(f+g) と (f−g) は可測である。

よって、(1)より、fg=(f+g)/4−(f−g)/4 は可測である。

(3)の証明

いま、c>0 ⇒ { 1/g>c }={ g>0 }∩{ g<1/c } である。

また、c=0 ⇒ { 1/g>c }={ g>0 } である。

また、c<0 ⇒ { 1/g>c }={ g>0 }∪{ g>1/c } である。

よって、1/g は可測である。

よって、(2)より、f/g は可測である。

B7

、・・・、f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) max{ f、・・・、f } は可測関数である。

(2) min{ f、・・・、f } は可測関数である。

(1)の証明

いま、{ max{ f、・・・、f}>c }={ f>c}∪・・・∪{ f>c } である。

よって、max{ f、・・・、f } は可測関数である。

(2)の証明

いま、{ min{ f、・・・、f}<c }={ f<c}∪・・・∪{ f<c } である。

よって、min{ f、・・・、f } は可測関数である。

定義 ( f、f

f:E→[−∞、∞] を関数とする。

=max{ f、0 } と定義する。

=max{ −f、0 } と定義する。

つまり、f と f は非負値関数である。

また、f=f−f である。

また、|f|=f+f である。

この記号は重要で、後で積分を定義するときにも用いる。

B8

f:E→[−∞、∞] を関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は可測である。

(2) f と f は可測である。

証明

いま、f=f−f である。

よって、明らかである。

B9

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

このとき、|f|は可測である。

証明

いま、|f|=f+f である。

よって、明らかである。

B10

:E→[−∞、∞] を可測関数列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) supn∈ は可測である。

(2) infn∈ は可測である。

(3) limsupn→∞ は可測である。

(4) liminfn→∞ は可測である。

(5) limn→∞ が存在するならば、これは可測である。

(1)の証明

いま、{ supn∈>c }=∪1≦n≦∞{ f>c } である。

よって、成り立つ。

(2)の証明

いま、{ infn∈<c }=∪1≦n≦∞{ f<c } である。

よって、成り立つ。

(3)の証明

=supp∈n+p とおく。

いま、limsupn→∞=infn∈ である。

よって、(1)と(2)より、limsupn→∞ は可測である。

(4)の証明

(3)と同様である。

(5)の証明

limsupn→∞=liminfn→∞ のとき、limn→∞ が存在する。

よって、(3)または(4)より、limn→∞ は可測である。