積分(単関数ver)

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注意

A と B が互いに素な集合であるとき、A∪B を A+B と表してよいとする。

、・・・、A が互いに素な集合であるとき、∪1≦k≦n1≦k≦n と表してよいとする。

定義 ( 特性関数 )

X を集合とする。

A を X の部分集合とする。

次のように定義する。



このとき、1 を 『 A の特性関数 』 という。

を χ と表す本も多い。

定義 ( 単関数〜その1 )

E を可測集合とする。

φ:E→ を関数とする。

φ の値域は有限集合であるとする。

つまり、φ(E)={ c、・・・、c } と表せる。

任意の c に対し、φ−1(c) は可測集合であるとする。

このとき、φ を 『 単関数 』 という。

つまり、φ=1≦k≦n と表せる。

明らかに、φ−1(c)、・・・、φ−1(c) は互いに素な可測集合である。

定義 ( 単関数〜その2 )

、・・・、E を可測集合とする。

φ(x)=c+・・・+c ( c ) とおく。

このとき、φ を 『 単関数 』 という。

定義(単関数〜その2)の場合、単関数の表示は一意ではないことに注意。

ただし、積分を考えると、定義(単関数〜その1)と定義(〜その2)の区別はなくなる。

詳しくは少し下の注意で述べる。

定義 ( 積分〜単関数ver)

φ:E→ を定義(単関数〜その1)とする。

φ(E)={ c、・・・、c } とおく。

=φ−1(c) とおく。

次のように定義する。



ある k が存在して、c≠0 かつ μ(A)=∞ であるとき、「 φは積分不能である 」 という。

それ以外の場合、「 φは可積分である 」 という。

S⊂E を可測集合とする。

このとき、φの定義域を S に制限して、φ:S→ と見なすと、



これを 『 φ の S 上の積分 』 という。

注意

定義(積分〜単関数ver)は定義(単関数〜その2)の表示に対して不変である。

証明

まず、A=B+C とおく。

つまり、B と C は互いに素であるとする。

いま、∫1=μ(B+C)=μ(B)+μ(C)=∫1+∫1 である。(★1)

また、一般に、∫(a+b)1=(a+b)μ(A)=aμ(A)+bμ(A)=∫a1+∫b1 である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ=a+・・・+a を単関数とする。

(A)を互いに素な集合に分割する。

n=2 の場合、A∩A、A∩A、A∩A とすればよい。

いま、(★1)と(★2)より、次の両辺の積分は一致する。

(*) a+a=(a+a)1∩A+a∩A+a∩A

そこで、最初から単関数の表示は互いに素な可測集合によるとしてよい。

φ=a+・・・+a=b+・・・+b とおく。

、・・・、A は互いに素であるとし、B、・・・、B は互いに素であるとする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、



また、A∩B≠φ⇒a=b である。

よって、

B12 ( 積分の線形性〜単関数ver )

φ、ψ:E→ を可積分単関数とする。

a を定数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) a∫φ(x)dx=∫aφ(x)dx

(2) ∫(φ(x)+ψ(x))dx=∫φ(x)dx+∫ψ(x)dx

(1)の証明

φ(E)={ c、・・・、c } とおく。

いま、aφ(E)={ ac、・・・、ac } である。

よって、(aφ)−1(ac)=φ−1(c) である。

よって、∫aφ=a∫φ である。

(2)の証明

φ(E)={ c、・・・、c } とおく。

ψ(E)={ d、・・・、d } とおく。

=φ−1(c) とおく。

=ψ−1(d) とおく。

いま、(φ+ψ)(E)={ c+d|i=1、・・・、n、j=1、・・・、m } である。

また、



また、i≠j ⇒ A∩A=φ=B∩B である。

よって、次のように計算できる。(※A10:測度のσ加法性)

B13 ( 積分の単調性、加法性、平行移動不変性〜単関数ver )

φ、ψ:E→ を可積分単関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) φ≦ψ on E ⇒ ∫φ(x)dx≦∫ψ(x)dx

(2) 「 E=1≦k≦n かつ 各 E は可測集合 」 ⇒ ∫φ(x)dx=1≦k≦nφ(x)dx

(3) ∫E−aφ(x+a)dx=∫φ(x)dx ( a は定数 )

補足

(1) は 『 積分の単調性 』 である。

(2) は 『 積分の加法性 』 である。

(3) は 『 積分の平行移動不変性 』 である。

補足

(2)において、E=1≦k≦n は次の2つのことを同時に意味する記号である。

(*1) E=∪1≦k≦n

(*2) E、・・・、E は互いに素である。

(1)の証明

いま、ψ−φは単関数である。

また、ψ−φ≧0 on E である。

よって、∫(ψ−φ)≧0 である。

よって、∫ψ≧∫φ である。(※B12)

(2)の証明

Ranφ={ c、・・・、c } とおく。

=φ−1(c) とおく。

次のように計算できる。(※A10:測度のσ加法性)

(3)の証明

=φ−1(c) とおく。

x∈E−a とおく。

いま、x+a∈E である。

また、x∈A−a ⇒ φ(x+a)=c である。

よって、次のように計算できる。(※A11:測度の平行移動不変性)

(*) ∫E−aφ(x+a)dx=μ(A−a)=μ(A)=∫φdx

B14 ( 単調収束定理〜単関数ver )

φ:E→[0、∞) を非負値可積分単関数とする。

ある定数 M が存在して、次が成り立つとする。

(*1) φ

(*2) 任意の n に対し、∫φ(x)dx<M である。

このとき、φ は a.e.収束する。

補足

つまり、limn→∞φ(x)<∞ a.e.である。

補足

(*1)は φ が単調増加関数列であることを意味する。

証明

S={ x∈E|limn→∞φ(x)=∞ } とおく。

η>0 とおく。

={ x∈E|φ(x)>η } とおく。

いま、S⊂S⊂・・・ である。

また、S⊂∪1≦n≦∞ である。

また、ημ(S)=∫η≦∫φ≦∫φ<M である。

よって、μ(S)<M/η である。

よって、μ(S)≦μ(∪1≦n≦∞)=limn→∞μ(S)≦M/η である。(※A10、定義:外測度)

η→∞ とすると、μ(S)=0 である。

つまり、S は零集合である。

つまり、limn→∞φ(x)<∞ a.e.である。