積分(非負値ver)

サイトのTOP→理系インデックス
ルベーグ積分のTOP→ルベーグ積分インデックス




定義 ( 積分〜非負値ver〜その1 )

f:E→[0、∞] を非負値可測関数とする。

次のように定義する。



とくに、∫f(x)dx<∞ であるとき、「 f は可積分である 」 という。

定義 ( 積分〜非負値ver〜その2 )

f:E→[0、∞] を非負値可測関数とする。

E を、互いに素な有限個の可測集合 A、・・・、A に分割する。

次のようにおく。



このとき、S を 『 f の E における近似和 』 という。

近似和全体を <S> と表す。

次のように定める。

注意

定義(積分〜非負値ver〜その1)と定義(〜その2)は同値である。

証明

次を示せばよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ:E→[0、∞) を非負値単関数とする。

いま、φ=c+・・・+c と表せる。

φ(x)dx を定義(積分〜非負値ver〜その2) とする。

このとき、∫φ(x)dx=cμ(E)+・・・+cμ(E) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

では、証明しよう。

上式の右辺は近似和の1つである。

よって、狽μ(E)≦∫φ である。(★1)

(A) を E の有限分割とする。

∩E≠φとすると、a=inf{ f(x)|x∈A }≦inf{ f(x)|x∈A∩E }=c である。

よって、



よって、<Sφ>≦1≦k≦nμ(E) である。

よって、∫φ≦1≦k≦nμ(E) である。(★2)

(★1)、(★2)より、∫φ=1≦k≦nμ(E) である。

B15

f:E→[0、∞] を非負値可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) g が可測関数で 0≦g≦f ならば、g は可積分かつ∫g(x)dx≦∫f(x)dx である。

(2) 可測集合 A⊂E に対し、∫f(x)dx≦∫f(x)dx である。

(3) 可測集合 A⊂E に対し、∫f(x)dx=∫(f・1)(x)dx である。

(4) ∫f(x)dx=0 ならば、f(x)=0 a.e.on E である。

(1)の証明

明らかである。(※定義:積分〜非負値ver)

(2)の証明

φ:A→[0、∞) を、0≦φ≦f on A となる単関数とする。

E−A 上での値を 0 として、φの定義域を E 上に拡張する。

いま、φ≦f on E である。

よって、次のように計算できる。(※B13:積分の加法性〜単関数ver)

(*) ∫φ=∫φ+∫E−Aφ=∫φ≦∫

(3)の証明

明らかである。(※B13:積分の加法性〜単関数ver)

実際、

(4)の証明

={ x∈E|f(x)>1/n } とおく。

(2)より、0=∫f≧∫Snf≧(1/n)μ(S) である。

よって、μ(S)=0 である。

S={ x∈E|f(x)≠0 } とおく。

いま、S↑S である。

よって、μ(S)=limn→∞μ(S)=0 である。(※A12)

つまり、f=0 a.e.on E である。