積分(一般ver)

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復習

次のような記号を定義する。

(*1) f(x)=max{ f(x)、0 }

(*2) f(x)=max{ −f(x)、0 }

つまり、f と f は非負値関数である。

また、f=f−f である。

また、|f|=f+f である。

定義 ( 積分〜一般ver )

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

次のように定義する。



とくに、f または f が可積分であるとき、「 f は積分確定である 」 という。

とくに、f と f が可積分であるとき、「 f は可積分である 」 という。

と f がともに ∞ である場合、∫fdx は意味をもたない。

実際、∫fdx=∞−∞ となってしまう。

しかし、f または f が <∞ であるならば、∫fdx は意味をもつ。

これが 「 積分確定 」 の意味である。

B16

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は可積分である。

(2) |f|は可積分である。

証明

いま、|f|=f+f である。

よって、明らかである。

B17

f:E→[−∞、∞] を可積分数とする。

このとき、|∫f(x)dx|≦∫|f(x)|dx である。

証明

次のように計算できる。

(*) |∫f|=|∫−∫|≦∫+∫=∫|f|

B18

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

μ(E)=0 とする。

このとき、∫f(x)dx=0 である。

証明

明らかである。(※定義:積分〜一般、定義:積分〜非負値、定義:積分〜単関数)

補足

念のため、詳しく説明しておこう。

まず、定義(積分〜一般)は定義(積分〜非負値)に基づいている。

また、定義(積分〜非負値)は定義(積分〜単関数)に基づいている。

明らかに、μ(E)=0 ならば、その上の単関数の積分は 0 である。

よって、非負値の積分も 0 となる。

つまり、∫=0 であり、∫=0 である。

よって、∫f=∫−∫=0 である。

このように、積分の性質は、「 単関数 → 非負値 → 一般 」 のように遺伝する。

このことを意識すると、後の議論も理解しやすいであろう。

B19

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

f は有界であるとする。

E は有限測度であるとする。( つまり、μ(E)<∞ であるとする )

このとき、f は可積分である。

証明

まず、f が非負値関数である場合について示す。

いま、ある定数 M が存在して、f≦M on E である。

いま、M は非負値可積分関数である。

実際、∫M=Mμ(E)<∞ である。

よって、f は可積分である。(※B15)(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、f が一般の場合について示す。

いま、f=f−f である。

f が有界ならば、f と f も有界である。

よって、(★)より、f と f も可積分である。

つまり、f は可積分である。

B20

f:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) g が可測関数で、|g|≦f on E ならば、g は E 上で可積分である。

(2) A⊂E が可測集合ならば、f は A 上で可積分である。

(3) A⊂E が可測集合ならば、∫f(x)dx=∫(f・1)(x)dx である。

(4) 「 μ(E)>0 かつ 任意の可測集合 S⊂E に対して∫f(x)dx=0 」 ⇒ f=0 a.e.

(1)の証明

明らかである。(※B16、B15(1))

(2)の証明

明らかである。(※B16、B15(2))

(3)の証明

いま、(f・1=f・1 である。

また、(f・1=f・1 である。

よって、成り立つ。(※B15(3))

(4)の証明

S={ x∈E|f(x)≧0 } とおく。

いま、f≧0 on S である。

また、∫fdx=0 である。

よって、f=0 a.e.on S である。(※B15(4))

同様に、f=0 a.e.on { x∈E|f(x)≦0 } である。

よって、f=0 a.e.on E である。