基本近傍系は位相を定める

サイトのTOP→理系インデックス
関数解析学のTOP→関数解析インデックス




E1 ( 近傍系の公理 )

X を位相空間とする。

N(x)を、x∈X の近傍系とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

上記の(1)〜(4)を 『 近傍系の公理 』 という。

証明

明らかである。

E2 ( 近傍系の公理は位相を定める )

X を集合とする。

任意の点 x∈X に対し、ある N(x)⊂Pow(X) が存在して、次を満たすとする。



このとき、( X の ) 位相 が一意に存在して、N(x) が (X、) の近傍系となる。

証明

ある位相 が存在して、N(x) が x の近傍系となるとする。(★1)

いま、明らかに、次は同値である。

(*1) O∈

(*2) x∈O ⇒ O∈N(x)

よって、定理の条件を満たす は、(*2)をみたす O からなる集合である。

これは の一意性を意味する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

={ O∈Pow(X)|x∈O⇒O∈N(x) } とおく。

以下、この が X の位相であることを示す。

そのためには次を示せばよい。

(**1) φ、X∈

(**2) O、O ⇒ O∩O

(**3) 任意の λ∈J に対して Oλ ⇒ ∪λ∈Jλ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(**1)の証明

x∈X とおく。

いま、(1)より、ある V∈N(x) が存在して、x∈V となる。

また、V⊂X である。

よって、(2)より、X∈N(x) である。

一方、明らかに、φ∈N(x) である。

以上により、(**1)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(**2)の証明

、O とおく。

O=O∩O とおく。

x∈O とおく。

いま、O∈N(x)、O∈N(x) である。

よって、(3)より、O=O∩O∈N(x) である。

以上により、(**2)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(**3)の証明

任意の λ∈J に対して Oλ であるとする。

O=∪λ∈Jλ とおく。

x∈O とおく。

いま、ある λ∈J に対して x∈Oλ となる。

つまり、Oλ∈N(x) である。

よって、(2)より、O∈N(x) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、 が位相であることが示された。

ただし、まだ (★1) が示されていない。

つまり、位相 に対して N(x) が x の近傍となることが示されていない。

これを示すためには 「 x∈IntV ⇔ V∈N(x) 」 を示せばよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、x∈IntV ⇒ V∈N(x) を示す。

いま、IntV∈ である。

よって、x∈IntV ⇒ IntV∈N(x) である。(※の定め方)

一方、IntV⊂V である。

よって、(2)より、V∈N(x) である。

以上により、x∈IntV ⇒ V∈N(x) を示す。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、V∈N(x) ⇒ x∈IntV を示す。

x∈X とおく。

V∈N(x) とおく。

U={ y∈X|V∈N(y) } とおく。

いま、x∈U である。

また、y∈U ⇒ V∈N(y) である。

よって、(1)より、y∈U ⇒ y∈V である。

よって、U⊂V である。(★2)

z∈U とおく。

いま、V∈N(z) である。

よって、(4)より、ある W∈N(z) が存在して、p∈W ⇒ V∈N(p) である。

よって、p∈W ⇒ p∈U である。(※Uの定め方)

よって、W⊂U である。

よって、(2)より、U∈N(z) である。

以上により、z∈U ⇒ U∈N(z) である。

つまり、U∈ である。(※の定め方)

よって、(★2)より、U⊂IntV である。

以上により、V∈N(x) ⇒ x∈IntV である。

E3 ( 基本近傍系の公理 )

X を位相空間とする。

任意の点 x∈X に対し、その基本近傍系 N(x) が与えられているとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。

E4 ( 基本近傍系の公理は位相を定める )

X を集合とする。

任意の x∈X に対し、ある N(x)⊂Pow(X) が存在して、次を満たすとする。



さらに、任意の x∈X に対して N(x)={ V∈Pow(X)|ある U∈N(x)が存在して U⊂V となる } と定める。

このとき、N(x) を x の近傍系とするような ( X の ) 位相が定まる。

証明

N(x)が次をみたすことを示せばよい。(※E2)



まず、(*1)より、(**1)が成り立つ。

また、明らかに、(**2)が成り立つ。(※N(x)の定め方)

また、(*2)より、(**3)が成り立つ。

最後に、(**4)を示す。

V∈N(x) とおく。

U∈N(x) とおく。

U⊂V であるとする。

W は (*3) の仮定を満たすとする。

いま、任意の y∈W に対し、ある U∈N(y) が存在して、U⊂U⊂V となる。

よって、V∈N(y)である。