局所凸線形位相空間

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定義 ( 局所凸線形位相空間 )

X を線形位相空間とする。

X は、凸集合からなる原点の基本近傍系をもつとする。

このとき、その位相を 『 局所凸位相 』 という。

また、X を 『 局所凸位相空間 』 という。

E18

X を局所凸線形位相空間とする。

を、原点の円形凸閉近傍全体とする。

このとき、N は原点の基本近傍系である。

証明

V を原点の近傍とする。

いま、原点の凸近傍 W が存在して、W⊂Cl(W)⊂W+W⊂V となる。(※E12、E9)

よって、Cl(W) は原点の凸閉近傍である。(※E13)

いま、原点の円形近傍 U が存在して、U⊂Cl(W) となる。(※E10)

を、U の円形凸閉包とする。

いま、U は、U の凸包の閉包に等しい。(※E6、E14)

よって、U⊂Cl(V) である。

以上により、U は U⊂V を満たす原点の円形凸閉近傍である。

定義 ( 線形位相空間の有界性 )

X を線形位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

任意の V∈N(0) に対し、ある a>0 が存在して A⊂aV となるとする。

このとき、「 A は有界である 」 という。

むろん、これは距離空間論で知られている有界性とは異なる。

E19

X を線形位相空間とする。

、A を X の有界集合とする。

このとき、A∪A は有界である。

証明

V を、原点の円形近傍とする。

いま、ある a、a>0 が存在して、A⊂aV、A⊂aV となる。

a=max{ a、a } とおく。

いま、A∪A⊂(aV)∪(aV)⊂aV である。(※E7)

つまり、A∪A は有界である。

E20 ( 線形位相空間のコンパクト集合は有界である )

X を線形位相空間とする。

K を X のコンパクト集合とする。

このとき、K は有界である。

証明

V を原点の近傍とする。

いま、原点の円形近傍 W が存在して、W+W⊂V となる。

また、原点の開近傍 U が存在して、U⊂W となる。

いま、K は各点 x の開近傍によって被覆される。

また、有限集合 J が存在して、K⊂∪λ∈J(xλ+U)=A+U となる。

いま、ある 0<a<1 が存在して、aA⊂W となる。(※Aの有界性、Vの円形性)

また、aU⊂W である。

よって、aK⊂aA+aU⊂W+W⊂V である。

つまり、K は有界である。

E21 ( 局所凸線形位相空間において有界集合の円形凸閉包は有界である )

X を局所凸線形位相空間とする。

K を、X の有界集合とする。

を、K の円形凸閉包とする。

このとき、K は有界である。

証明

V を原点の円形凸閉近傍とする。

いま、ある a>0 が存在して、K⊂aV となる。

よって、K⊂aV である。

注意

X、Y を線形位相空間とする。

T を、X から Y への線形作用素とする。

x∈X とおく。

このとき、次は同値である。

(1) T は点 x∈X で連続である。

(2) 任意の V∈N(0) に対し、ある W∈N(0) が存在して、T(x+W)⊂Tx+V となる。

補足

むろん、ここでの連続性とは、位相空間の連続写像を意味する。

証明

明らかである。

E22

X、Y を線形位相空間とする。

T を、X から Y への線形作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) T は原点で連続である。

(2) T は X 上で連続である。

証明

(2)⇒(1)は明らかである。

(1)を仮定する。

W∈N(0) とおく。

いま、ある V∈N(0) が存在して、T(V)⊂W となる。

x∈X とおく。

いま、T(x+V)⊂Tx+W である。

よって、T は x で連続である。

つまり、T は X 上で連続である。

E23

X、Y を線形位相空間とする。

T を、X から Y への連続な線形作用素とする。

A を X の有界集合とする。

このとき、T(A) は有界である。

証明

W∈N(0) とおく。

いま、ある V∈N(0) が存在して、T(V)⊂W となる。

また、ある a>0 が存在して、A⊂aV となる。

よって、T(A)⊂aT(V)⊂aW である。

E24

X、Y を線形位相空間とする。

T を、X から Y への連続な線形作用素とする。

(xn∈⊂X を、limn→∞=0 となる点列とする。

このとき、limn→∞Tx=0 である。

証明

W∈N(0) とおく。

いま、ある V∈N(0) が存在して、T(V)⊂W となる。

また、ある自然数 N が存在して、n≧N ⇒ x∈V である。

よって、n≧N ⇒ Tx∈W である。

つまり、limn→∞Tx=0 である。