共役作用素

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C16

、H をヒルベルト空間とする。

T を H から H への稠密に定義された作用素とする。

w∈H とおく。

次が成り立つとする。



このような v は一意に定まる。

証明

他に、v’∈H が存在して、定理の条件を満たすとする。

つまり、任意の x∈D(T)に対し、(Tx、w)=(x、v’)とする。

いま、(v−v’、x)=(v、x)−(v’、x)=0 である。

また、D(T)は稠密である。

よって、v=v’である。(※B17)

定義 ( 共役作用素 )

、H をヒルベルト空間とする。

T を H から H への稠密に定義された作用素とする。

次のようにおく。



いま、右辺の v は一意に定まる。(※C16)

そこで、次のように定義する。



このとき、T を 『 T の共役作用素 』 という。

明らかに、D(T)は H の部分空間である。

明らかに、T は線形作用素である。

C17

、H をヒルベルト空間とする。

T を H から H への稠密に定義された作用素とする。

を T の共役作用素とする。

v∈D(T)、w∈D(T)とおく。

このとき、(Tv、w)=(v、Tw)である。

証明

明らかである。(※定義:共役作用素)

定義 ( 拡張 )

、H をヒルベルト空間とする。

T、S を H から H への作用素とする。

D(T)⊂D(S)かつ、任意の v∈D(T) に対して Tv=Sv とする。

このとき、S を 『 T の拡張 』 といい、T⊂S と表す。

C18

、H をヒルベルト空間とする。

T、S を H から H への稠密に定義された作用素とする。

このとき、T⊂S ならば S⊂T である。

証明

T⊂S と仮定する。

w∈D(S)とおく。

いま、任意の x∈D(S) に対し、(Sx、w)=(x、Sw)である。(※C17)

また、D(T)⊂D(S)である。

よって、任意の x∈D(T) に対し、(Tx、w)=(x、Sw)である。

いま、Sw∈H である。

以上の内容をまとめると、

ある v(=Sw)∈H が存在して、任意の x∈D(T)に対し、(Tx、w)=(x、v) である。

つまり、w∈D(T)である。

以上により、D(S)⊂D(T)である。

一方、T⊂S である。

よって、明らかに、任意の w∈D(S)に対して Tw=Sw である。

以上により、S⊂T である。

定義 ( T**

、H をヒルベルト空間とする。

T を H から H への稠密に定義された作用素とする。

を T の共役作用素とする。

D(T)も H において稠密であるとする。

このとき、T の共役作用素(T を考えることができる。

そこで、(T を T** と表す。

C19

T∈B(H、H)とする。( 定義より、これはD(T)=H であることを意味する )

このとき、次が成り立つ。

(1) T∈B(H、H

(2) T**=T

(3) ||T||=||T||

証明

w∈H とおく。

:H を F(v)=(Tv、w)で定義する。

v∈H とおく。

いま、|(Tv、w)|≦||Tv||||w|| である。(※A5)

また、||Tv||≦||T||||v|| である。(※C3)

よって、|F(v)|≦||T||||v||||w|| である。

よって、||F||≦||T||||w|| である。(※定義:作用素ノルム)

よって、F は有界である。

よって、次の(*1)、(*2)が成り立つ。(※C15:リースの表現定理)

(*1) あるηが一意に存在して、F(v)=(v、η)となる。

(*2) ||η||=||F||

よって、w∈D(T)かつη=Tw である。(※定義:共役作用素)

また、以上により、D(T)=H である。

また、||Tw||=||η||=||F||≦||T||||w|| である。

よって、T は有界である。

また、||T||≦||T|| である。(※定義:作用素ノルム)

上の結果より、任意の v∈H、w∈H に対し、(Tv、w)=(v、Tw)である。

ここで、v を固定する。

いま、任意の w∈H に対し、(Tv、w)=(v、Tw)である。

式変形すると、(Tw、v)=(w、Tv)である。

よって、v∈D(T**)=H かつ Tv=T**v である。

( v は任意であるから D(T**)=H としてよい )

よって、T=T** である。

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既に示したように、||T||≦||T|| である。

よって、T の代わりに T を考えると、||T**||≦||T|| である。

よって、||T||≦||T|| である。

よって、||T||=||T|| である。

C20

、H をヒルベルト空間とする。

T、S を H から H への稠密に定義された作用素とする。

、S を T、S の共役作用素とする。

D(T)∩D(S) は稠密であるとする。

このとき、T+S⊂(T+S) である。

とくに、T、S が有界ならば T+S=(T+S) である。

証明

v∈D(T)∩D(S)とおく。

w∈D(T)∩D(S)とおく。

いま、((T+S)v、w)=(Tv、w)+(Sv、w)=(v、Tw)+(v、Sw)=(v、(T+S)w)である。(※C17)

よって、w∈D((T+S))である。(※定義:共役作用素)

以上により、D(T)∩D(S)⊂D((T+S))である。

また、(T+S)w=(T+S)w である。

以上により、T+S⊂(T+S) である。

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T、S が有界ならば、D(T+S)=H である。(※C19(1))

よって、T+S=(T+S) である。

C21

、H、H をヒルベルト空間とする。

T を H から H への稠密に定義された作用素とする。

S を H から H への稠密に定義された作用素とする。

このとき、T⊂(ST) である。

とくに、S が有界ならば T=(ST) である。

証明

v∈D(ST)とおく。

w∈D(T)とおく。

いま、Tv∈D(S)、w∈D(S)、v∈D(T)、Sw∈D(T)である。

よって、(STv、w)=(Tv、Sw)=(v、Tw)である。(※C17)

よって、w∈D((ST))、(ST)w=Tw である。

よって、T⊂(ST) である。

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S が有界ならば、S は有界である。(※C19(1))

v∈D(ST)、w∈D((ST))とおく。

いま、Tv∈D(S)、w∈D(S)である。(※D(S)=H に注意)

よって、(v、(ST)w)=(STv、w)=(Tv、Sw) である。(※C17)

よって、Sw∈D(T)、Tw=(ST)w である。

よって、(ST)⊂T である。