無限級数に対してよくある誤解

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定義 ( 広義実数 )

∪{±∞}とおく。

この に対し、大小関係と演算を次のように規約する。



このとき、 を 『 広義実数 』 という。

を [−∞、+∞] と表すこともある。

補足

(+∞)+(−∞)や(+∞)/(+∞)などは無定義とする。

『 無定義 』 は、その表記が意味をもたないことを意味する。

『 規約 』 は、そのように取り決めるということを意味する。

+∞、x+(−∞)などを略記して、それぞれ ∞、x−∞ などのように表すことが多い。

定義 ( 無限級数 )

(an∈ を数列とする。

(an∈ の第1項から第N項までの和を S と表す。

つまり、S=a+・・・+a である。

数列(SN∈ が極限 S をもつとする。

つまり、limN→∞=S である。

このとき、「 (an∈ の無限級数は収束する 」 という。

また、S を 『 (an∈ の無限級数 』 という。

また、S を 1≦n≦∞ と表す。

あるいは、S=a+a+・・・ と表す。

を 『 S の第 N 部分和 』 という。

参考

次の無限はすべて意味が異なる。

(1) 無限級数としての無限

(2) 帰納法としての無限

(3) 無限集合としての無限

(4) 発散としての無限

(5) 広義実数としての無限

これらは混同されることが多い。

(1)と(2)について

1≦n≦∞ や a+a+・・・ は、単なる象徴的な記号であることに注意。

しかし、S を 『 無限回の和 』 と認識する人が多い。

この辺りは論理と直観が混ざってしまうので、非常に誤解が生じやすい。

数学の教科書を読み返せば気付くと思われるが、演算は有限回についてのみ定義される。

例えば、和とは、2項演算 a+a を意味する。

これを繰り返せば、帰納的に a+・・・+a という具合に n 回までの演算を行うことができる。

しかし、これと無限級数の定義は別物であることに注意せよ。

『 帰納的にいくらでも繰り返せること 』 と 『 無限級数としての無限 』 は意味が異なる。

例えば、通常の和の定義だけでは 0+0+0+・・・ を議論することはできない。

直観的に 「 0+0+0+・・・=0 だろう 」 と考える人がいるかもしれない。

しかし、無限回の演算を行うということは、つまり、演算が終わらないということである。

終わらないはずの演算について演算結果が出ているというのはおかしな話である。

では、無限級数 S とは何なのか?

上にも書いてあるように、S は数列(SN∈ の極限である。

それを1≦n≦∞ や a+a+・・・ という記号で表しているのである。

よって、0+0+0+・・・は、数列 0、0+0、0+0+0、・・・ の極限を意味する。

つまり、0+0+0+・・・は、数列 0、0、0、・・・ の極限を意味する。

よって、0+0+0+・・・=0 である。

(3) 「 無限集合としての無限 」

例えば、自然数全体は無限集合である。

一方、任意の自然数は 『 有限 』 である。

(4) 「 発散としての無限 」

例えば、limx→+01/x=∞ について考えてみよう。

これは 「 x→+0 のとき、1/x がいくらでも大きくなる 」 という意味である。

例えば、何らかの大きな数 c を考えよう。

いま、x を十分小さくすれば、1/x>c となるようにできる。

これが limx→+01/x=∞ の意味である。

この ∞ は広義実数の ∞ と混同されやすい。

(5) 「 広義実数としての無限 」

広義実数としての ∞ と、発散としての ∞ は意味が異なる。

発散の ∞ は 「 その数がいくらでも大きな有限値をとること 」 を意味する。