サポート関数、ミンコフスキ汎関数

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定義 ( 劣加法的 )

X を K 上のベクトル空間とする。

p:X→ を実数値汎関数とする。

次が成り立つとする。

(1) p(ax)=ap(x) ( a≧0 )

(2) p(x+y)≦p(x)+p(y)

このとき、「 p は劣加法的である 」 という。

E16

X を K 上のベクトル空間とする。

p:X→ を劣加法的関数とする。

A={ x∈X|p(x)<1 } とおく。

B={ x∈X|p(x)≦1 } とおく。

このとき、A と B は凸・吸収的である。

証明

x、y∈A、a、b≧0、a+b=1 とする。

いま、p(x)≦1、p(y)≦1 である。

よって、p(ax+by)≦ap(x)+bp(y)≦a+b=1 である。

つまり、ax+by∈A である。

以上により、A は凸である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈X とおく。

p(x)≦1 の場合、x∈A である。

p(x)>1 の場合について考える。

いま、p(x/p(x))=1 である。

よって、x/p(x)∈A である。

よって、x∈p(x)A である。

以上により、A は吸収的である。

B についても同様に示される。

定義 ( サポート関数〜その1 )

X を K 上のベクトル空間とする。

A を ( X の ) 吸収的な部分集合とする。

:X→[0、∞) を p(x)=inf{ λ>0|λ−1x∈λA } で定める。

このとき、p を 『 サポート関数 』 または 『 ミンコフスキの汎関数 』 という。

いま、A は吸収的である。

つまり、任意の x∈X に対し、ある λ>0 が存在して x∈λA となる。

よって、p(x) は非負有限値である。

参考 ( サポート関数〜その2 )

X を K 上のノルム空間とする。

A を X の部分集合とする。

A は原点を内点としてもつとする。

:X→[0、∞) を p=inf{ λ>0|λ−1x∈A } で定める。

このとき、p を 『 サポート関数 』 または 『 ミンコフスキ汎関数 』 という。

『 0 と x を結ぶ直線 』 と 『 A の境界 』 が交わる点を y とすると、x=p(x)y である。(※下図)

E17

X を K 上のベクトル空間とする。

A を X の部分集合とする。

p:X→ を実数値汎関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が凸・吸収的ならば、p は非負劣加法的で { p<1 }⊂A⊂{ p≦1 } である。

(2) p が非負劣加法的ならば、{ p<1 }⊂A⊂{ p≦1 } をみたす凸・吸収的な A に対して p=p である。

補足

実は、(2)において 「 A が吸収的 」 という仮定は不要である。

なぜなら、A が吸収的であることは自動的に保障されるからである。(※E12)

(1)の証明

いま、0∈A である。

また、任意の λ>0 に対して 0∈λA である。

よって、p(0)=0 である。

よって、a=0 の場合、明らかに、p(ax)=ap(x) である。

a>0 の場合について考える。

いま、p(ax)=inf{ λ>0|ax∈λA }=a・inf{ λ/a>0|x∈(λ/a)A }=ap(x) である。

つまり、a>0 の場合についても p(ax)=ap(x) である。

以上により、a≧0 に対して p(ax)=ap(x) である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x、y∈X とおく。

ε>0 とおく。

いま、ある λ>0 が存在して、x∈λA かつ λ<p(x)+εである。(※定義:サポート関数)

また、ある μ>0 が存在して、y∈μA かつ μ<p(y)+εである。(※定義:サポート関数)

一方、x+y∈λA+μA=(λ+μ)A である。(※E7)

よって、p(x+y)≦λ+μ<p(x)+p(y)+2ε である。

つまり、p(x+y)≦p(x)+p(y) である。(★2)

(★1)、(★2)より、p は劣加法的である。

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(x)<1 とする。

いま、ある 0<λ<1 が存在して、x∈λA となる。

よって、x=λy ( y∈A ) と表せる。

いま、A は 0 を含む凸集合である。

よって、x=λy+(1−λ)0∈A である。

以上により、{ p<1 }⊂A である。

一方、明らかに、A⊂{ p≦1 } である。(※定義:サポート関数)

(2)の証明

x∈X ( p(x)≧0 ) とおく。

ε>0 とおく。

いま、p((p(x)+ε)−1x)=(p(x)+ε)−1p(x)<1 である。

よって、(p(x)+ε)−1x∈A である。(※定理の仮定)

よって、p((p(x)+ε)−1x)≦1 である。

よって、p(x)≦p(x)+ε である。

つまり、p(x)≦p(x) である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈X ( p(x)>0 ) とおく。

p(x)>ε>0 とおく。

いま、p((p(x)−ε)−1x)=(p(x)−ε)−1p(x)>1 である。

よって、(p(x)−ε)−1x∈X−A である。(※定理の仮定)

いま、(1)より、{ p<1 }⊂A である。

よって、p((p(x)−ε)−1x)≧1 である。

よって、p(x)≧p(x)−ε である。

つまり、p(x)≧p(x) である。(★4)

また、明らかに、p(x)=0 の場合も(★4)は成り立つ。

(★3)、(★4)より、p=p である。