ベッセルの不等式(無限ver)

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定義 ( ヒルベルト空間における無限級数 )

H をヒルベルト空間とする。

(φn∈⊂H を点列とする。

ある φ∈H が存在して、limN→∞|| φ−1≦k≦Nφ ||=0 となるとする。

このとき、φ=1≦k≦∞φ と表す。

また、「 1≦n≦∞φ はφに収束する 」 という。

B8 ( ノルム、内積の連続性 )

V を内積空間とする。

、w∈V とする。

→v∈V (n→∞)、w→w∈V (n→∞) であるとする。

( つまり、|| v−v ||→0 (n→∞)、|| w−w ||→0 (n→∞) とするのである )

このとき、次が成り立つ。

(1) || v ||→|| v ||

(2) (v、w)→(v、w)

補足

つまり、ノルムと内積は連続関数である。

補足

むろん、(1)と(2)は次のように表せる。

(*1) limn→∞|| v ||=|| limn→∞ ||

(*2) limn→∞(v、w)=(limn→∞、limn→∞

(1)の証明

||| v ||−|| v |||≦|| v−v ||→0 (n→∞) である。(※A1)

(2)の証明

(1)より、次が成り立つ。(※シュワルツの不等式)

定義 ( フーリエ級数 )

H をヒルベルト空間とする。

E={φn∈ を H の正規直交系とする。

f∈H とおく。

次のように定義する。



このとき、{cn∈ を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、f を 『 f のフーリエ級数 』 という。

f=f が成り立つとは限らない。

では、どのような条件下で f=f が成り立つのだろうか?

つまり、どのような条件下で f をフーリエ級数展開できるだろうか?

以下、これを示すための準備をする。

むろん、f=f は E の完全性を意味する。

B9 ( リース・フィッシャーの定理 )

H をヒルベルト空間とする。

{φn∈ を H の正規直交系とする。

(cn∈ を複素数列とする。

1≦n≦∞|c<∞ であるとする。

このとき、ある g∈H が存在して、次を満たす。

証明

1≦n≦Nφ とおく。

N>M とする。

いま、|| x−x ||M+1≦n≦N|c→0 (N、M→∞) である。

つまり、(xN∈ はコーシー列である。

よって、limN→∞ が存在する。

つまり、ある g∈H が存在して、limN→∞|| g−g ||=0 となる。

つまり、g=1≦n≦∞φ である。(※定義:ヒルベルト空間における無限級数)

よって、次のように計算できる。(※内積の連続性)

(*) (g、φ)=limN→∞1≦n≦Nφ、φ)=limN→∞1≦n≦N(φ、φ)=c

B10 ( ベッセルの不等式〜無限ver )

H をヒルベルト空間とする。

{φn∈ を H の正規直交系とする。

このとき、任意の f∈H に対し、次が成り立つ。

補足

むろん、この定理は正規直交系が有限集合である場合も成り立つ。

証明

(f、φ)=c とおく。

いま、(φ、f)=c である。

N∈ とおく。

いま、

B11 ( ヒルベルト空間においてフーリエ級数は収束する )

H をヒルベルト空間とする。

f∈H とする。

f のフーリエ級数は、ある f∈H に収束する。

補足

むろん、f が f と一致するとは限らない。

証明

=(f、φ) とおく。

いま、|| f ||<∞ である。( 任意の実数は有限であるから、当然である )

よって、1≦n≦∞|c<∞ である。(※B10:ベッセルの不等式)

よって、ある f∈H が存在して、次を満たす。(※B9:リース・フィッシャーの定理)



つまり、f のフーリエ級数は、ある f∈H に収束する。

補足

上の証明において、(f、φ)=c=(f、φ)となっていることに注意しよう。

このことは後で用いる。