ノイマン級数

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定義 ( TS )

V をノルム空間とする。

T、S∈B(V、V)とする。

TS:V→V を (TS)v=T(Sv) で定義する。

このとき、TS を 『 T と S の積 』 という。

C9

V をノルム空間とする。

T、S∈B(V、V)とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) TS∈B(V、V)

(2) ||TS||≦||T||||S||

(1)の証明

明らかに、||(TS)v||≦||T||||Sv||≦||T||||S||||v|| である。(※C3)

よって、TS は有界である。

よって、TS∈B(V、V)である。

(2)の証明

(1)より、TS∈B(V、V)である。

よって、||TS||=sup||v||=1||TSv|| である。(※C3)

一方、(1)の証明に書いたように、||(TS)v||≦||T||||S||||v|| である。

||v||=1の場合を考えると、||(TS)v||≦||T||||S|| である。

よって、||TS||≦||T||||S|| である。

C10

X をバナッハ空間とする。

(Tn∈⊂B(X、X) とする。

1≦n≦∞||T||<∞ とする。

このとき、1≦n≦∞ は ( 作用素ノルムの意味で ) B(X、X) において収束する。

証明

1≦n≦N とおく。

N>M とする。

いま、||S−S||=||TM+1+・・・+T||≦||TM+1||+・・・+||T|| である。

仮定より、N、M→∞ とすると、右辺の各項は 0 に収束する。

よって、||S−S||→0 (N、M→∞)である。

つまり、S はコーシー列である。

よって、S は収束する。(※C8)

C11

V をノルム空間とする。

(Tn∈⊂B(X、X)、T∈B(X、X) とする。

→T (n→∞)とする。

S∈B(V、V)とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) TS→TS (n→∞)

(2) ST→ST (n→∞)

(1)の証明

次のように計算できる。(※C9)

(*) ||TS−TS||=||(T−T)S||≦||T−T||||S||→0 ( n→∞ )

(2)の証明

(1)と同様である。

C12 ( 可逆⇒全単射 )

V をノルム空間とする。

T∈B(V、V)とする。

ある S∈B(V、V)が存在して、TS=I かつ ST=I となるとする。

このとき、T は全単射であり、S=T−1 である。

証明

v∈V とおく。

w=Sv とおく。

いま、Tw=TSv=Iv=v である。

つまり、T は全射である。

v∈KerT とおく。

いま、v=Iv=STv=S0=0 である。

よって、KerT={0}である。

よって、T は単射である。(※線形代数)

以上により、T は全単射である。

よって、逆作用素 T−1 が存在する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v∈V とおく。

−1v=w とおく。

いま、v=Tw である。

よって、w=Iw=STw=Sv である。

よって、T−1v=Sv である。

よって、T−1=S である。

定義 ( Tのα倍 )

V をノルム空間とする。

T∈B(V、V)とおく。

α∈ とおく。

αT:V→V を (αT)v=αTv で定義する。

αT を 『 T のα倍 』 という。

αI を省略してαと表すことも多い。

その場合、I を 1 と表すことになる。

C13 ( ノイマン級数 )

X をバナッハ空間とする。

T∈B(X、X)とする。

||T||<1とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) I+T は全単射である。

(2) (I+T)−1∈B(X、X)

(3) (I+T)−10≦n≦∞(−1)

補足

とくに、(3)の式を 『 ノイマン級数 』 という。

証明

明らかに、||(−1)||≦||(−1)||||T||=||T||≦||T|| である。(※C9)

いま、仮定より、||T||<1である。

よって、0≦n≦∞||(−1)|| は収束する。

よって、0≦n≦∞(−1) は収束する。(※C10)

ここで、S=0≦n≦∞(−1) とおく。

また、S0≦n≦N(−1) とおく。

いま、(I+T)S→(I+T)S ( N→∞ ) である。(※C11)

また、S(I+T)→S(I+T) である。(※C11)

また、S(I+T)=(I+(−1)T+(−1)+・・・+(−1))(I+T)=I+(−1)N+1 である。

同様に、(I+T)S=I+(−1)N+1 である。

よって、||(I+T)S−I||=||S(I+T)−I||≦||T||N+1→0 ( N→∞ ) である。

よって、(I+T)S=I、S(I+T)=I である。

よって、I+T は全単射であり、S=(I+T)−1である。(※C12)