ラドン・ニコディムの定理

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定義 ( 加法的集合関数 )

をσ加法族とする。

ν:→[−∞、∞] を関数とする。

次が成り立つとする。

(0) νの値域は ∞ または −∞ の高々一方のみを含む。

(1) ν(φ)=0

(2) A、A、・・・∈ は互いに素 ⇒ ν(1≦k≦∞)=1≦k≦∞ν(A

このとき、ν を 『 加法的集合関数 』 という。

むろん、非負値の加法的集合関数は測度を意味する。

可積分関数 f に対して ν(E)=∫f とおくと、νは加法的集合関数である。(※積分の加法性)

注意

以下、簡単のため、加法的集合関数の終域を に限定する。

P1

ν: を加法的集合関数とする。

任意の E∈ に対し、ν(E)≧0 であるとする。

(A) を単調増加集合列または単調減少集合列とする。

このとき、limn→∞ν(A)=ν(limn→∞) である。

証明

測度の場合と同様に証明できる。

P2

ν: を加法的集合関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) ν(liminfn→∞)≦liminfn→∞ν(A

証明

測度の場合と同様に証明できる。

定義 ( 加法的集合関数の特異性 )

ν、ν を加法的集合関数とする。

ある A、B∈ が存在して、次を満たすとする。

(1) A と B は互いに素である。

(2) 任意の E∈ に対し、ν(E)=ν(E∩A)かつν(E)=ν(E∩B) である。

このとき、「 ν と ν は互いに素である 」 という。

定義 ( 測度に対する絶対連続性 )

μ:→[0、∞] を測度とする。

ν: を加法的集合関数とする。

任意の A∈ ( ただし、μ(A)=0 ) に対し、ν(A)=0 であるとする。

このとき、「 ν は μ に対して絶対連続である 」 という。

定義 ( 測度に対する特異性 )

μ:→[0、∞] を測度とする。

ν: を加法的集合関数とする。

ある A∈ が存在して、次を満たすとする。

(1) μ(A)=0

(2) 任意の E∈ ( ただし、E⊂A ) に対し、ν(E)=0 である。

このとき、「 ν は μ に対して特異である 」 という。

P3 ( ジョルダンの分解定理 )

ν: を加法的集合関数とする。

このとき、ある関数 ν、ν→[0、∞) が存在して、次を満たす。

(1) ν=ν−ν

(2) ν と ν は加法的集合関数である。

(3) ν と ν は特異である。

補足

つまり、 ν と ν は測度である。

(1)の証明

ν(A)=supE⊂Aν(E) とおく。

ν(A)=supE⊂A(−ν(E)) とおく。

いま、ν(φ)=0 である。(※定義:加法的集合関数)

よって、ν と ν は非負である。

E⊂A とおく。

いま、ν(E)=ν(A)−ν(A∩E) である。(★0)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

よって、ν(E)≧ν(A)−ν(A)≧ν(A)−ν(A) である。

よって、infE⊂Aν(E)≧ν(A)−ν(A) である。

つまり、−ν(A)≧ν(A)−ν(A) である。

つまり、ν(A)≦ν(A)−ν(A) である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、(★0)より、ν(E)=ν(A)+(−ν(A∩E))≦ν(A)+ν(A) である。

よって、ν(A)≦ν(A)+ν(A) である。

つまり、ν(A)≧ν(A)−ν(A) である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、ν(A)=ν(A)−ν(A) である。

(2)の証明

(A) を互いに素な集合列とする。

E⊂1≦n≦∞ とおく。

いま、ν(E)=1≦n≦∞ν(E∩A)≦1≦n≦∞ν(A)である。

よって、ν1≦n≦∞)≦1≦n≦∞ν(A)である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n∈ とおく。

いま、ある E⊂A が存在して、ν(E)≧ν(A)−ε/2 となる。

よって、ν(1≦n≦∞)=1≦n≦∞ν(E)≧1≦n≦∞(ν(A)−ε/2)=1≦n≦∞ν(A)−εである。

むろん、ν1≦n≦∞)≧ν(1≦n≦∞)である。

よって、ν1≦n≦∞)≧1≦n≦∞ν(A)−εである。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、ν1≦n≦∞)=1≦n≦∞ν(A) である。

ν についても同様である。

(3)の証明

次のことを示せばよい。

(*) ある E∈ が存在して、ν(E)=0 かつ ν(E)=0 となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n∈ とおく。

いま、ある E が存在して、ν(E)≧ν(X)−1/2 となる。

また、ν(E)=ν(E)−ν(E)≦ν(E)−ν(X)+1/2≦1/2 である。(★)

E=liminfn→∞ とおく。

いま、0≦ν(E)≦liminfn→∞ν(E) である。(※P2)

( ν≧0 は既に(1)で示した )

よって、(★)より、ν(E)=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、ν(E)=ν(X)−ν(E)=ν(X)−ν(E)−ν(E)≦1/2−ν(E)≦1/2 である。

よって、ν(E)=ν(limsupn→∞)≦ν(∪m≦n≦∞)≦m≦n≦∞ν(E)=1/2n+1 である。

よって、ν(E)=0 である。

P4 ( ハーン分解 )

ν: を加法的集合関数とする。

このとき、ある A∈ が存在して、ν(A)=0 かつ ν(A)=0 となる。

証明

既に示した。(※P3(3)の証明)

定義 ( 全変動、正変動、負変動 )

ν: を加法的集合関数とする。

ν、ν をジョルダンの分解定理によって定まる加法的集合関数とする。

このとき、ν を 『 正変動 』 といい、ν を 『 負変動 』 という。

また、ν+ν を 『 全変動 』 という。

P5

f:→[−∞、∞] を可積分関数とする。

ν: を ν(A)=∫f で定める。

=max{ f、0 }、f=max{ −f、0 } とおく。

このとき、ν(A)=∫、ν(A)=∫ は f のジョルダン分解となる。

証明

いま、ν(A)=∫f=∫−∫ である。

B={ f≧0 } とおく。

いま、任意の E⊂A に対し、次が成り立つ。

(*) ν(E)=ν(A∩B∩E)+ν(A∩B∩E)≦ν(A∩B∩E)≦ν(A∩B)=∫

よって、supE⊂Aν(E)=∫ である。

同様に、supE⊂A(−ν(E))=∫ である。

既に示したように、supE⊂Aν(E) と supE⊂A(−ν(E)) は f のジョルダン分解である。

P6

ν: を加法的集合関数とする。

ν+ν を ν の全変動とする。

このとき、任意の A∈ に対し、次が成り立つ。

補足

既に注意したように、1≦k≦∞ は A が互いに素であることも意味する。

証明

いま、ν(A)=ν(A)−ν(A) である。(※ジョルダン分解)

また、ν≧0、ν≧0 である。

よって、|ν(A)|≦max{ ν(A)、ν(A) } である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

E をハーン分解とする。

いま、次が成り立つ。(※P4)



いま、A∩E と A∩E は互いに素である。

よって、

定義 ( ルベーグ・スチルチェス積分 )

ν: を加法的集合関数とする。

ν+ν を ν の全変動とする。

いま、ν と ν は測度である。(※P3)

よって、∫fdν=∫fdν−∫fdν と定義できる。

このとき、∫fdν を 『 ルベーグ・スチルチェス積分 』 という。

P7

μ:→[0、∞] を測度とする。

ν: を加法的集合関数とする。

ν は絶対連続であるとする。

ν は μ に対して特異であるとする。

このとき、任意の E∈ に対し、ν(E)=0 である。

証明

いま、ある A∈ が存在して、μ(A)=0 である。(※定義:測度に対する特異性)

また、任意の B∈ ( ただし B⊂A ) に対し、ν(B)=0 である。(※定義:測度に対する特異性)

また、任意の C∈ ( ただし、C⊂A ) に対し、ν(C)=0 である。(※定義:測度に対する絶対連続性)

E∈ とおく。

いま、ν(E)=ν(A∩E)+ν(A∩E)=0 である。

P8

(X、、μ) を測度空間とする。

f:X→[−∞、∞] を可積分関数とする。

ν: を ν(E)=∫f で定める。

このとき、ν は μ に対して絶対連続な加法的集合関数である。

証明

明らかに、μ(E)=0 ⇒ ν(E)=0 である。

定義 ( σ有限 )

(X、、μ) を測度空間とする。

ある可測集合列 (X) が存在して、次を満たす。

(1) (X) は互いに素である。

(2) μ(X)<∞

(3) X=∪1≦n≦∞

このとき、「 (X、、μ)はσ有限である 」 という。

P9 ( ラドン・ニコディムの定理 )

(X、、μ) をσ有限な測度空間とする。

ν; を加法的集合関数とする。

このとき、可積分関数 f と加法的集合関数 λ が一意に存在して、次を満たす。

(1) ν(A)=∫f+λ(A)

(2) λ は μ に対して特異である。

補足

既に示したように、∫f はμに対して絶対連続な加法的集合関数である。(※P8)

証明

既に示したように、ν=ν−ν と分解できる。

ν と ν は非負値加法的集合関数である。

よって、最初からνが非負値である場合について示せばよい。

また、(X、、μ)はσ有限であるから、μ(X)<∞ の場合について示せばよい。(・・)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A∈ とおく。

f≦μ(A) を満たす X 上の非負値関数全体を M(X) と表す。

明らかに、零関数は M(X) に属する。

よって、M(X) は空ではない。

K=supf∈M(X)∫f とおく。

(f)⊂M(X) を limn→∞∫f=K を満たす関数列とする。

f=supn∈ とおく。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(x)=max{ f(x)、・・・、f(x) } とおく。

次のようにおく。



いま、X=∪1≦k≦m である。

また、∫1≦k≦n∩A1≦k≦n∩A1≦k≦nν(E∩A)=ν(A) である。

いま、g は単調増加であり、f に収束する。

よって、∫f=limn→∞≦ν(A) である。(※単調収束定理)

ここで、λ(A)=ν(A)−∫f とおく。

いま、λは非負値加法的集合関数である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λ が零関数である場合、定理は成り立つ。

λ が零関数でない場合について考える。

λ=λ−(1/n)μ とおく。

を λ のハーン分解とする。

つまり、λ=λ−λ、λ(A)=0、λ(A)=0 である。

E∈ とおく。

いま、



次のようにおく。



いま、∫(f+g)=∫f+(1/n)μ(E∩A)≦∫f+λ(E∩A)≦∫f+λ(E)=ν(E) である。

また、f+g≧0 である。

よって、f+g∈M(X) である。

また、f+g≧f である。

よって、g=0 a.e.である。(※ f の定義に注意 )

つまり、μ(A)=0 である。(※ g の定義に注意 )

A=∩1≦n≦∞ とおく。

いま、μ(A)=μ((∩1≦n≦∞)=limn→∞μ(∪1≦k≦∞)=0 である。

また、(*)と同様に、λ(E∩A)≦(1/n)μ(E∩A) である。

いま、A⊂A である。

よって、λ(E∩A)=λ(E∩A∩A)≦(1/n)μ(E∩A∩A)=(1/n)μ(E∩A) である。

よって、λ(E∩A)=0 である。

つまり、λ は μ に対して特異である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

最後に一意性を示す。

ν と ν を、μに対して絶対連続な加法的集合関数とする。

λ と λ を、μに対して特異な加法的集合関数とする。

ν=ν+λ=ν+λ であるとする。

いま、ν−ν はμに対して絶対連続である。

また、λ−λ はμに対して特異である。

よって、ν−ν=λ−λ は絶対連続かつ特異である。

よって、ν−ν=λ−λ=0 ( 零関数 ) である。(※P8)

つまり、ν=ν であり、λ=λ である。