連続関数はボレル可測である

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参考

このページでは、第1章に基づいて、連続関数がボレル可測関数であることを証明する。

P1

X を集合とする。

λ を X 上のσ加法族の族とする。

このとき、∩λλ もσ加法族でえある。

証明

明らかである。

定義 ( 生成されるσ加法族 )

X を集合とする。

A を X の部分集合族とする。( つまりA⊂Pow(X) である )

いま、ある集合族 ⊂Pow(X) が一意に存在して、次を満たす。(※P1)

(*)  は A を含むσ加法族で最小である。

このとき、 を σ(A) と表す。

この σ(A) を 『 A によって生成されるσ加法族 』 という。

定義 ( ボレル集合 )

Θ={ [a、b):a、b∈、a<b }∪{φ} とおく。

このとき、σ(Θ) を ) と表す。

この ) を 『 ボレル集合族 』 という。

また、) 上の測度を 『 ボレル測度 』 という。

P2 ( 連続関数はボレル可測である )

I を開区間とする。( 無限区間でもよい )

f:I→ を左連続関数とする。( 右連続でもよい )

このとき、f はボレル可測である。

補足

x∈ に対し、[x]=max{ n∈|n<x } と定義する。

この [・] を 『 ガウス記号 』 という。

証明

簡単のため、I=(0、1) とする。

n∈ とおく。

:I→ を f(x)=f([nx]/n) で定める。( [・]はガウス記号である )

ただし、f(0)=0 と規約する。

J={ k∈|0≦k<n } とおく。

いま、Ranf={ f(k/n)|k∈J } は有限集合である。( Ranf は f の値域を意味する )

また、{ f=y }=∪k∈J:f(k/n)=y[k/n、(k+1)/n)∩(0、1)∈) である。

つまり、f) 単関数である。

いま、f は f に各点収束する。(※ f は左連続 )

よって、f は ) 可測である。