連続関数は可測関数である

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参考

このページでは、第2章に基づいて、連続関数が可測関数であることを証明する。

P1 ( 連続関数 ⇒ 可測関数 )

E⊂ を可測集合とする。

f:E→[−∞、∞] を連続関数とする。

このとき、f は可測関数である。

証明

c を実数とする。

B={ f>c } とおく。

x∈B とおく。

いま、x∈E であり、f(x)>c である。

よって、ある δ(x)>0 が存在して、次を満たす。(※関数の連続性)

(*) y∈S(x、δ(x)) かつ y∈E ならば、f(y)>c である。

ただし、S(x、δ(x))は点 x を中心とする半径 δ(x)>0 の開球を意味する。

むろん、δ(x) は x に依存する。

上記の(*)は y∈E∩S(x、δ(x))⊂B を意味する。

よって、∪x∈B(E∩S(x、δ(x)))=E∩(∪x∈BS(x、δ(x)))=B である。

ここで、G=∪x∈BS(x、δ(x)) とおく。

いま、E∩G=B である。

また、G は開集合の和集合であるから、可測である。(※A7)

つまり、E と G は可測である。

よって、B も可測である。