mのσ加法性⇔mの可算被覆単調性⇔Γ(m、・)=m(・)

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定義 ( σ加法性 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

Θ ( n∈ ) は互いに素であるとする。

m(1≦n≦∞)=1≦n≦∞m(I)であるとする。

このとき、「 m はσ加法性をもつ 」 という。

定義 ( 可算被覆単調性 )

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

任意の A∈Θ に対し、次が成り立つとする。

(*) A の任意の可算 Θ 被覆 C に対し、m(A)≦1≦n≦∞m(C)であるとする。

このとき、「 m は可算被覆単調性をもつ 」 という。

既に示したように、ジョルダン測度は有限被覆単調性をもつ。(※Z8)

Z11 ( mのσ加法性 ⇔ mの可算被覆単調性⇔Γ(m、・)=m(・))

m:Θ→[0、∞] をジョルダン測度とする。

このとき、次は同値である。

(1) m はσ加法性をもつ。

(2) m は可算被覆単調性をもつ。

(3) Θ 上でΓ(m、A)=m(A)である。

(1)⇒(2)の証明

(1)を仮定する。

A∈Θ とおく。

を A の可算 Θ 被覆とする。

いま、互いに素な IΘ が存在して、次を満たす。(※Z9)

(*1) ∪1≦n≦∞1≦k≦∞

(*2) 1≦k≦∞m(I)≦1≦n≦∞m(C

いま、A∩I は互いに素である。

また、A=1≦k≦∞(A∩I)である。

よって、仮定(1)より、m(A)=1≦k≦∞m(A∩I)である。

一方、m(A∩I)≦m(I)である。(※Z8)

よって、m(A)≦1≦k≦∞m(I)≦1≦n≦∞m(C)である。

(2)⇒(1)の証明

(2)を仮定する。

Θ を互いに素な集合列とする。

いま、1≦k≦nm(I)≦m(1≦k≦∞)である。(※Z8)

しかも、上式が任意の n∈ に対して成り立つ。

よって、1≦k≦∞m(I)≦m(1≦k≦∞)である。

一方、逆向きの不等式は仮定(2)そのものである。

よって、1≦k≦∞m(I)=m(1≦k≦∞)である。

つまり、m はσ加法性をもつ。

(2)⇔(3)の証明

(2)を仮定する。

つまり、いま、m(A)≦Γ(m、A)である。

一方、Γ(m、A)≦m(A)である。(※Z10)

よって、(2)⇒(3)が示された。

上記の議論を逆に辿れば、(3)⇒(2)が示される。