レゾルヴェントとスペクトル

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定義 ( レゾルヴェント、スペクトル )

V を K 上のノルム空間とする。

T:V→V を作用素とする。

λ∈K に対し、Tλ=λI−T と定義する。

明らかに、D(Tλ)=D(T)である。

いま、次の4通りの場合が考えられる。

(*1) Tλ−1 が存在して、D(Tλ−1)は V で稠密であり、Tλ−1 は有界である。

(*2) Tλ−1 が存在して、D(Tλ−1)は V で稠密であり、Tλ−1 は有界でない。

(*3) Tλ−1 が存在して、D(Tλ−1)は V で稠密でない。

(*4) Tλ−1 が存在しない。

とくに、(*1)を満たすλ全体をρ(T)と表す。

このとき、ρ(T)を 『 T のレゾルヴェント集合 』 という。

また、λ∈ρ(T)を 『 T のレゾルヴェント 』 という。

また、(*2)を満たすλ全体をσ(T)と表す。

このとき、λ∈σ(T) を 『 T の連続スペクトル 』 という。

また、(*3)を満たすλ全体をσ(T)と表す。

このとき、λ∈σ(T) を 『 T の剰余スペクトル 』 という。

また、(*4)を満たすλ全体をσ(T)と表す。

このとき、λ∈σ(T) を 『 T の点スペクトル 』 という。

『 T の点スペクトル 』 を 『 T の固有値 』 と呼ぶ場合もある。

むろん、K=ρ(T)∪σ(T)∪σ(T)∪σ(T)である。

また、右辺は互いに素である。

定義 ( スペクトル )

σ(T)=σ(T)∪σ(T)∪σ(T)とおく。

このとき、σ(T)を 『 T のスペクトル 』 という。

定義 ( 固有空間 )

T:V→V を作用素とする。

λを T の固有値とする。

いま、ある x(≠0)∈D(T) が存在して、Tx=λx となる。(※定義:スペクトル)

このとき、x を 『 λに属する固有ベクトル 』 という。

また、W(λ)={ x∈V|Tx=λx } を 『 λに属する固有空間 』 という。

F1

X をバナッハ空間とする。

T∈B(X、X)とおく。

|λ|>|| T || であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) λ∈ρ(T)

(2) (λI−T)−10≦n≦∞λ−(n+1)∈B(X、X)

証明

いま、λI−T=λ(I−λ−1T)である。

また、|| λ−1T ||<1である。

よって、ある(λI−T)−1∈B(X、X)が存在して次を満たす。(※C13:ノイマン級数)

(*) (λI−T)−1=λ−1(I−λ−1T)−1=λ−10≦n≦∞λ−n0≦n≦∞λ−(n+1)

よって、λ∈ρ(T)である。

F2

X をバナッハ空間とする。

T∈B(X、X)とおく。

このとき、σ(T)⊂{ λ∈K:|λ|≦|| T || } である。

証明

明らかである。(※F1)