リーマン可積分⇔不連続点が零集合

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参考

リーマン積分は定義域を小区間に分割してリーマン和の極限として定義される。

ルベーグ積分は単関数(階段関数)の極限として定義される。

この意味で、2つの定義は独立しており、互いに無関係であるように思える。

しかし、よく考えてみると、リーマン和は自然に単関数を定める。

よって、リーマン積分も、単関数の極限として記述できる。

これによってリーマン可積分性をより詳しく理解できる。

とくに、次のことが示される。

(*1) リーマン可積分⇔不連続点が零集合

むろん、これは次のように言い換えられる。

(*2) f はリーマン可積分 ⇔ f は a.e.連続である。

以下、リーマン積分の定義から議論を出発する。

定義 ( リーマン可積分 )

[a、b] を有界閉区間とする。

Δ : a=x<x<・・・<x=b を分割とする。

次のように定義する。



このとき、S を 『 f のリーマン和 』 という。

Δ の各区間の中で、最大幅を|Δ|と表す。

lim|Δ|→0S がある値 J に収束するとする。(★)

このとき、「 f はリーマン可積分である 」 という。

また、次のように定義する。

上の(★)をεδ論法で正確に表すと、次のようになる。

(*) 任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、|Δ|<δ ⇒ |S−J|<ε となる。

むろん、条件(★)が成り立たなければ、リーマン積分不能である。

P1

関数が [a、b] 上で有界でないとき、リーマン積分不能である。

証明

例えば、f:[0、1]→ を f(x)=1/x で定義する。

ただし、x=0 において f(0)=c ( c は任意の定数 ) とする。

いま、f は点 0 の近くで有界ではない。

Δ : 0=x<x<・・・<x=1 を [0、1] の分割とする。

d>1 を任意の定数とする。

いま、ある ξ∈(x、x] が存在して、f(ξ)>d/x となる。

また、0≦i≦n−1f(ξ)(xi+1−x)≧f(ξ)(x−x)>d である。

つまり、f のリーマン和はいくらでも大きくなる。

よって、f はリーマン積分不能である。

そこで、以下の議論では区間 [a、b] 上の有界関数を考える。

ちなみに、有界閉区間上の連続関数は有界であることが知られている。(※最大値・最小値の定理)

定義 ( ダルブー和 )

f:[a、b]→ を有界関数とする。

Δ : a=x<x<・・・<x=b を分割とする。

=inf{ f(x)|x∈[x、xi+1] } とおく。

=sup{ f(x)|x∈[x、xi+1] } とおく。

いま、m≦f(ξ)≦M ( ξ∈[x、xi+1] ) である。

Δ0≦i≦n−1(xi+1−x) とおく。

Δ0≦i≦n−1(xi+1−x) とおく。

Δ や SΔ は 『 ダルブー和 』 と呼ばれることもある。

P2

Δ を [a、b] の分割とする。

S をリーマン和とする。

このとき、sΔ≦S≦SΔ である。

証明

明らかである。

P3

Δ、Ξ を [a、b] の分割とする。

Ξ は Δ の細分であるとする。( つまり、Ξ は Δ に分点を追加したものである )

このとき、sΔ≦sΞ≦SΞ≦SΔ である。

証明

明らかである。

P4 ( 積分値=下限全体の上限=上限全体の下限 )

f:[a、b]→ を有界関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f はリーマン可積分である。

(2) 任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、|Δ|<δ ⇒ SΔ−sΔ<εとなる。

とくに、(1)または(2)が成り立つとき、

(1)⇔(2)の証明

J をリーマン和の極限とする。

ε>0 とおく。

いま、ある δ>0 が存在して、|Δ|<δならば、|sΔ−J|<εかつ|SΔ−J|<εとなる。

よって、SΔ−sΔ<2εである。

(*)の証明

(1)と(2)を仮定する。

Δ、Ξ を [a、b] の分割とする。

Ω を、Δ と Ξ の分点を合わせた分割とする。

つまり、Ω は Δ と Ξ の細分である。

いま、sΔ≦sΩ≦SΩ≦SΞ である。(※P3)

よって、supΔΔ≦SΞ である。

よって、supΔΔ≦infΞΞ である。

つまり、sΔ≦supΔΔ≦infΞΞ≦SΞ である。

S をリーマン和の極限とする。

|Δ|<δとする。

いま、任意の分割 Δ に対し、sΔ≦S≦SΔ である。(※P2)

また、仮定(2)より、SΔ−sΔ<εである。

よって、|S−supΔΔ|≦ε、|S−infΞΞ|≦εである。

よって、S=supΔΔ=infΞΞ である。

むろん、S=supΔΔ=infΔΔ と表しても意味は同じである。

参考

ここまでの議論は微分積分学の本によく書かれている。

以下、ルベーグ積分との関連を説明する。

混同を避けるため、リーマン積分には(R)を付け、ルベーグ積分には(L)を付ける。

P5

f:[a、b]→ を有界関数とする。

Δ : a=x<x<・・・<x=b を分割とする。

φΔ:[a、b]→ を φΔ(x)=m ( x<x<xi+1 ) で定義する。

ψΔ:[a、b]→ を ψΔ(x)=M ( x<x<xi+1 ) で定義する。

ただし、分点における値は任意でよい。

このとき、リーマン可積分性は、次の条件(*)と同値である。



とくに、(*)の共通の値がリーマン積分値である。

証明

明らかに、



よって、定理が成り立つ。(※P4)

定義 ( 上極限関数、下極限関数 )

f:[a、b]→ を有界関数とする。

次のように定義する。



このとき、f を 『 f の上極限関数 』 という。

また、f を 『 f の下極限関数 』 という。

P6

f:[a、b]→ を有界関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は x=c において連続である。

(2) f(c)=f(c)

証明

=sup{ f(x):|x−c|<1/n } とおく。

=inf{ f(x):|x−c|<1/n } とおく。

いま、f(c)=limn→∞ である。

また、f(c)=limn→∞ である。

また、m≦m≦・・・≦M≦M である。

また、f(c)=f(c) ⇔ limn→∞(M−m)=0 である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(1)を仮定する。

いま、任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、|x−c|<δ ⇒|f(x)−f(c)|<ε である。

そこで、δ>1/n とおく。

いま、f(c)−ε≦m≦M≦f(c)+ε である。

よって、(★)より、f(c)=f(c)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、任意の ε>0 に対し、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|M−m|<ε である。

|x−c|<1/n とする。

いま、m≦f(x)≦M であり、m≦f(c)≦M である。

よって、|f(x)−f(c)|<ε である。

P7

f:[a、b]→ を有界関数とする。

このとき、ある単関数列 φ、ψ が存在して、次を満たす。

(1) φ↓f (a.e.)

(2) ψ↑f (a.e.)

(1)の証明

[a、b] を 2 等分した分割 Δ:a=x<x<・・・<x=b を考える。

φ:[a、b]→ を φ(x)=sup{ f(x)|xk−1<t<x } で定義する。

ただし、分点における値は任意でよい。

いま、φ は単関数である。

Δ=∪1≦n≦∞Δ とおく。( つまり、Δ は分点全体である )

いま、Δ は可算集合であるから、μ(Δ)=0 である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x がΔに属していない場合を考える。

いま、φ(x)↓である。

また、f は有界であるから、limn→∞φ(x) が有限の値に収束する。

g:[a、b]−Δ→ を g(x)=limn→∞φ(x) で定義する。

x∈[a、b]−Δ とおく。

いま、各 n に対し、ある開区間 I=(xn−1、x) が存在して、x∈I となる。

また、f(x)≦sup{|f(t)|t∈I }=φ(x) である。

よって、f≦g (a.e.) である。(★2)

( むろん、上式の a.e.は(★1)による )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈[a、b]−Δ とおく。

いま、n→∞ とすると、sup{ f(t):|t−x|<1/n }↓f(x) である。

よって、ある n が存在して、sup{ f(t):|t−x|<1/n }<f(x)+εである。

いま、ある m が存在して、I⊂(x−1/n、x+1/n) となる。

また、sup{ f(t) : t∈I }≦sup{ f(t):|t−x|<1/n } である。

よって、g(x)≦φ(x)=sup{ f(t) : t∈I }<f(x)+ε である。

よって、g≦f (a.e.) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★2)、(★3)より、g=f (a.e.) である。

(2)の証明

(1)と同様である。

P8

f:[a、b]→ を有界関数とする。

Δ : a=x<x<・・・<x=b を分割とする。

φΔ:[a、b]→ を φΔ(x)=m ( x<x<xi+1 ) で定義する。

ψΔ:[a、b]→ を ψΔ(x)=M ( x<x<xi+1 ) で定義する。

ただし、分点における値は任意でよい。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、ある単関数列 φ が存在して、φ↓f(a.e.) となる。(※P7)

n を十分大きくとると、次が成り立つ。(※P7の証明)



x∈[a、b]−Δ とおく。

いま、x∈(x、xi+1) となる。

また、f(x)≦sup{ f(t)|x<t<xi+1 }=M=φΔ(x) である。

よって、



よって、



(*1)、(*2)より、

(2)の証明

(1)と同様である。

P9 ( リーマン可積分 ⇔ 不連続点が零集合 )

f:[a、b]→ を有界関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f はリーマン可積分である。

(2) f は a.e.連続である。

とくに、(1)または(2)が成り立つとき、

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、次が成り立つ。(※P5、P8)



また、f−f≧0 である。

よって、f−f=0 (a.e.) である。

よって、f は a.e.連続である。(※P6)

上記の議論を逆に辿ると、(2)⇒(1)を得る。

(*)の証明

いま、f=f=f (a.e.) である。

よって、成り立つ。(※P5、P8)