バナッハ空間、「a.e.収束⇒測度収束」&「平均収束⇒測度収束」

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注意

有限関数 ( 終域がの関数 ) に限定して議論する。

定義 ( Lノルム )

f:X→ を可測関数とする。

|| f ||=∫|f|と定義する。

|| f ||<∞ を満たす関数全体を L(X) と表す。

また、|| f || を 『 Lノルム 』 という。

つまり、L(X) とは可積分関数全体である。

むろん、Lノルムは L(X) のノルムである。

このことを確認する。

まず、

(*1) || af ||=∫|af|=|a|∫|f|=|a||| f ||<∞

(*2) || f+g ||=∫|f+g|≦∫|f|+∫|g|=|| f ||+|| g ||<∞

よって、L(X)はベクトル空間である。

また、

(**1) || f ||>0 ( || f ||=0 ⇔ f=0 )

(**2) || af ||=|a||| f ||

(**3) || f+g ||≦|| f ||+|| g ||

よって、||・|| はノルムである。

ただし、(**1)では || f ||=0 ⇔ f=0 に注意する必要がある。

実際、「 || f ||=0 ⇒ f=0 」 は成り立たない。

しかし、∫|f|=0 ⇔ f=0 a.e.が成り立つ。(※B28)

つまり、∫|f−g|=0 ⇔ f=g a.e.である。

そこで、f=g a.e.となる関数 f と g を同一視すれば、(**1)が満たされる。

定義 ( Lノルム〜精密版 )

f=g a.e.を f〜g と表す。

明らかに、〜 は同値関係である。

可積分関数全体をこの同値関係で割った商空間を L(X) と表す。

これは定義(Lノルム)の補足で述べたことをまとめただけである。

定義 ( Lノルム )

f:X→ を可測関数とする。

|| f ||=inf{ a∈|μ(|f|>a)=0 } と定義する。

|| f ||<∞ を満たす関数全体を L(X) と表す。

また、|| f || を 『 Lノルム 』 という。

定義 ( 本質的上限 )

essinff=inf{ a∈|μ(f>a)=0 } と定義する。

esssupf=sup{ a∈|μ(f>a)>0 } と定義する。

とくに、esssupf を 『 f の本質的上限 』 という。

明らかに、次が成り立つ。

(1) essinff=esssupf

(2) || f ||=esssup|f|

P1

(X) は || ・ || に関してバナッハ空間である。

証明

明らかに、|| ・ || は L(X) のノルムである。

∈L(X) をコーシー列とする。(★)

ε>0 とおく。

いま、ある自然数 N が存在して、m、n≧N(ε)⇒|| f−f ||<εである。

n、m(ε)={ x∈X : |f(x)−f(x)|≧ε } とおく。

いま、μ(An、m(ε))=0 である。

A=∪1≦r≦∞n、m≧N(1/r)n、m(1/r) とおく。

いま、μ(A)=0 である。

また、x∈X−A に対し、f(x) はコーシー列である。

よって、X−A 上で f は極限をもつ。

そこで、それを f(x) と定義する。

いま、|| f−f ||→0 である。

つまり、L(X) は完備である。

定義 ( Lノルム )

f:X→ を可測関数とする。

∫|f|<∞ を満たすもの全体を L(X) と表す。

|| f ||=(∫|f|1/p と定義する。

(f、g)=∫fg と定義する。

とくに、|| ・ || を 『 Lノルム 』 という。

f、g:X→ の場合、(f、g)=∫fg と定義する。

以下の議論は にも拡張できるが、ここでは のみを議論する。

明らかに、(・、・)は内積である。

むろん、L(X) は || ・ || に関してノルム空間となる。

ただし、その証明には少し準備が必要である。

以下、これを示す。

P2 ( ヘルダーの不等式 )

p>1 とする。

1/p+1/q=1 とする。

f∈L(X)、g∈L(X) に対し、次が成り立つ。

(*) |∫fg|≦(∫|f|1/p(∫|g|1/q

証明

いま、log(ax+(1−a)y)≧alogx+(1−a)logy である。(※ log は凸関数)



X、Y≧0、x=X、y=Y、a=1/p とおく。

いま、log(X/p+Y/q)≧p−1logX+q−1logY=logX+logY=logXY である。

つまり、XY≦X/p+Y/q である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

|| f ||=0 または || g ||=0 の場合について定理が成り立つことは明らかである。

|| f ||、|| g ||>0 の場合について示す。

X=|f|/|| f ||、Y=|g|/|| g || とおく。

(★)より、



よって、∫|fg|≦|| f |||| g || である。

P3 ( シュワルツの不等式 )

f、g∈L(X) とおく。

このとき、|(f、g)|≦|| f |||| g || である。

証明

P2(ヘルダーの不等式)において p=2、q=2 とすればよい。

P4 ( ミンコフスキの不等式 )

f、g∈L(X) とおく。

このとき、|| f+g ||≦|| f ||+|| g || である。

証明

p=1 の場合は明らかである。

p>1 の場合について示す。

1/p+1/q=1 となるように q をとる。

いま、p−1=p/q である。

よって、次のように計算できる。(※P2:ヘルダーの不等式)



つまり、(∫|f+g|1−1/q≦(∫|f|1/p+(∫|g|1/q である。

つまり、(∫|f+g|1/p≦(∫|f|1/p+(∫|g|1/q である。

P5

|| ・ || は L(X) のノルムである。

証明

明らかに、次成り立つ。(P4:ミンコフスキの不等式)

(*1) || f ||≧0 ( || f ||=0 ⇔ f=0 )

(*2) || af ||=|a||| f ||

(*3) || f+g ||≦|| f ||+|| g ||

定義 ( 平均収束 )

|| ・ || の意味で収束するとき、これを 『 p次平均収束 』 という。

これを 『 L収束 』 ということもある。

定義 ( 測度収束 )

f、f:X→ を可測関数とする。

任意の ε>0 に対し、limn→∞μ(|f−f|>ε)=0 であるとする。(★)

このとき、「 f は f に測度収束する 」 という。

(★)の式を詳しく書くと、limn→∞μ({x∈X:|f(x)−f(x)|>ε})=0 である。

定義 ( a.e.収束 )

f、f:X→ を可測関数とする。

μ(limn→∞≠f)=0 であるとする。

このとき、「 f は f に a.e.収束する 」 という。

これを 『 概収束 』 と呼ぶことも多い。

「 a.e.収束 」 という言葉は前章で既に用いている。

これは改めて定義として述べるまでもなく、言葉通りの意味である。

注意

(1) a.e.収束 ⇒ 測度収束 ( ただし、μ(X)<∞ とする )

(2) 平均収束 ⇒ 測度収束

(3) a.e.収束でも平均収束するとは限らない。

(4) 平均収束でも a.e.収束するとは限らない。

(1)と(2)については後のページで示す。

(3)と(4)から分かるように、a.e.収束と平均収束の間に強弱の関係はない。

P6

p≧1 とする。

このとき、L(X) はバナッハ空間である。

とくに、L(X) はヒルベルト空間である。

証明

(f) を L(X) のコーシー列とする。

いま、部分列 n が存在して、|| f−f ||<1/2 となる。

(x)=|f(x)|+1≦k≦m|fk+1(x)−f(x)|とおく。

いま、g は単調増加な非負値関数である。

よって、次のように計算できる。(※単調収束定理)



よって、μ(limk→∞=∞)=0 である。

x∈X を、limk→∞(x) が収束する点とする。

よく知られているように、絶対収束する級数は収束する。(※微分積分学)

よって、f(x)=f(x)+1≦k≦m(fk+1(x)−f(x)) は収束する。

そこで、その極限を g(x) とおく。

いま、f は g に a.e.収束する。

また、明らかに、f は g に p 次平均収束する。(★)

また、|| f−g ||≦|| f−f ||+|| f−g || である。

定理の仮定より、上式右辺の第1項は 0 に収束する。

(★)より、上式右辺の第2項は 0 に収束する。

よって、|| f−g ||→0 である。

P7

(X、、μ)を測度空間とする。

μ(X)<∞ とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) p>q≧1 ⇒ L(X)⊂L(X)

(2) L(X)⊂L(X)

(3) f∈L(X) が f∈L(X) に L 収束するならば L 収束する。

(1)の証明

f∈L(X) とおく。

E={|f|>1 } とおく。

x∈E とおく。

いま、|f(x)|>|f(x)| である。

よって、∫|f|=∫|f|+∫X−E|f|≦∫|f|+∫X−E1≦∫|f|+μ(X)<∞ である。

つまり、f∈L(X) である。

(2)の証明

f∈L(X) とおく。

いま、∫|f|≦∫|| f ||=|| f ||μ(X)<∞ である。

つまり、f∈L(X) である。

(3)の証明

(2)より、f、f∈L(X) である。

また、|| f−f ||=∫|f−f|≦|| f−f ||μ(X) である。

よって、|| f−f ||→0 ならば、|| f−f ||→0 である。

P8

(X、、μ) を測度空間とする。

(1) 「 μ(X)<∞ であり、f が f に a.e.収束する 」 ⇒ f は f に測度収束する。

(2) 「 f は f に平均収束する 」 ⇒ f は f に測度収束する。

(1)と(2)の証明

A={ x∈X|limn→∞(x)≠f(x) } とおく。

(ε)={ x∈X : |f(x)−f(x)|>ε } とおく。

は f に測度収束しないと仮定する。(背理法)

いま、ある ε>0 が存在して、limsupn→∞μ(A(ε))>0 となる。

また、μ(X)<∞ より、μ(∪1≦n≦∞(ε))<∞ である。

よって、μ(limsupn→∞(ε))≧limsupn→∞μ(A(ε))>0 である。(※ D4)

いま、limsupn→∞(ε)⊂A である。

よって、μ(A)>0 である。

つまり、f は f に a.e.収束しない。

さらに、∫|f−f|>εμ(A(ε)) である。

よって、f は f に平均収束しない。

P9

(X、、μ)を測度空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は f に測度収束するならば、ある部分列 f が存在して、f に a.e.収束する。

(2) f は f に平均収束するならば、ある部分列 f が存在して、f に a.e.収束する。

(1)の証明

いま、μ(|f−f|>1/2)→0 である。

よって、ある部分列 n が存在して、次が成り立つようにできる。

(*) n≧n ⇒ μ(|f−f|>1/2)<1/2

={x∈X:|f(x)−f(x)|>1/2)} とおく。

いま、μ(A)<1/2 である。

A=limsupk→∞=∩1≦m≦∞k≧m とおく。

いま、A={ x∈X|任意の n に対し、ある k≧n が存在して|f(x)−f(x)|>1/2 となる } である。

また、μ(A)≦limm→∞m≦k≦∞μ(A)=0 である。

つまり、μ(A)=0 である。

つまり、f は f に a.e.収束する。

(2)の証明

いま、ある部分列 n が存在して、次を満たす。

(*) n≧n ⇒ || f−f ||<1/2

(x)=|f(x)|+1≦k≦∞|fk+1(x)−f(x)|である。

いま、g は単調増加な非負値関数である。

よって、次のように計算できる。(※単調収束定理)



よって、μ(x∈X:limk→∞(x)=∞)=0 である。

x を、limk→∞(x) が極限をもつ点とする。

よく知られているように、絶対収束する級数は収束する。

よって、f(x)=f1(x)+1≦k≦m(f(x)−fk−1(x)) は極限をもつ。

そこで、これを g(x) と定める。

いま、f は g に a.e.収束する。

よって、|| g ||≦|| f ||+2 より、g∈L(X) である。

また、∫|g−f|=∫limk→∞|f−f|=limk→∞∫|f−f|=limk→∞|| f−f ||=0 である。

つまり、g=f である。