ルベーグ測度

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定義 ( 左半開区間全体と空集合 )

I を開区間とする。( 無限区間でもよい )

Θ(I)={ (a、b]:a、b∈I、a<b }∪{φ}と定義する。

つまり、Θ)は左半開区間全体である。

明らかに、A、B∈I ⇒ A∩B∈I である。

むろん、左半開区間の代わりに右半開区間を考えても同様に議論できる。

定義 ( 非減少関数 v によって誘導されるジョルダン測度 )

v: を非減少関数とする。

dv:Θ)→[0、∞) を dv(a、b]=v(b)−v(a)で定義する。

ただし、dv(φ)=0 とする。

明らかに、dv はジョルダン測度である。

そこで、dv を 『 v によって誘導されるジョルダン測度 』 という。

Z24

Θ(I) は I 上の半加法族である。

証明

明らかである。

参考 ( ボレルの被覆定理 )

K を の有界な閉区間とする。

を開区間の列とする。

K⊂∪1≦n≦∞ であるとする。

このとき、有限個の J を選んで K を被覆できる。

これは微分積分学・位相空間論などで有名な定理である。

詳しい証明を知りたい人は微分積分学や位相空間論を参照。

以下の議論ではこの定理を使用する。

Z25

m:Θ(I)→[0、∞] をジョルダン測度とする。

任意の a∈I に対し、あるδ>0 が存在して、m(a、a+δ]<+∞ となるとする。(★)

このとき、次は同値である。

(1) m はσ加法性をもつ。

(2) 任意の a∈I に対し、infδ>0:a+δ∈Im(a、δ]=0 である。

補足

(2)⇒(1)は条件(★)がなくても成り立つ。

(1)⇒(2)の証明

a+ε∈I とする。

m(a、a+ε]<+∞ とする。

n∈ とおく。

仮定(1)より、m(a、a+ε/n]=n≦k≦∞m(a+ε/(k+1)、a+ε/k] である。

いま、上式右辺の級数は収束している。

よって、limn→∞m(a、a+ε/n]=0 である。

よって、infδ>0:a+δ∈Im(a、a+δ]=0 である。(※Z8:ジョルダン測度の単調性)

(2)⇒(1)の証明

(a、b]∈Θ(I)とおく。

(a、b] を (a、b] の可算 Θ(I) 被覆とする。

ε>0 とおく。

いま、ある δ、δ>0 が存在して、次が成り立つ。

(*1) m(a、a+δ]<ε ( a+δ<b )

(*2) m(b、b+δ]<ε/2 ( b+δ∈I )

また、[a+δ、b]⊂(a、b]⊂∪1≦n≦∞(a、b]⊂∪1≦n≦∞(a、b+δ)である。

よって、ある p∈ が存在して、[a+δ、b]⊂∪1≦n≦p(a、b+δ)である。(※ハイネ・ボレルの定理)

また、(a、b]⊂(a、a+δ]∪(a+δ、b]である。

また、(a、b+δ)⊂(a、b]∪(b、b+δ]である。

以上により、(a、b]⊂(a、a+δ]∪∪1≦n≦p(a、b]∪∪1≦n≦p(b、b+δ]である。

よって、m(a、b]≦m(a、a+δ]+1≦n≦pm(a、b]+1≦n≦pm(b、b+δ]である。(※Z8)

よって、(*1)、(*2)より、m(a、b]≦2ε+1≦n≦∞m(a、b]である。

よって、m(a、b]≦1≦n≦∞m(a、b]である。

よって、m はσ加法的である。(※Z11)

補足

上の証明を図示すると、

Z26

I を開区間とする。

v:I→ を非減少関数とする。

dv:Θ(I)→[0、∞) を v によって誘導されるジョルダン測度とする。

このとき、次は同値である。

(1) dv はσ加法性をもつ。

(2) v は右連続である。

(3) 任意の a、b∈I ( ただし a<b ) に対し、Γ(dv、(a、b])=v(b)−v(a)である。

証明

明らかに、infδ>0:a+δ∈Idv(a、a+δ]=0 は、v の右連続を意味する。

よって、明らかに、(1)〜(3)は同値である。(※Z25、Z11)

定義 ( ルベーグ外測度 )

I を開区間とする。

v:I→ を右連続な非減少関数とする。

dv:Θ(I)→[0、∞) を v によって誘導されるジョルダン測度とする。

このとき、Γ(dv、・)を 『 v によって誘導されるルベーグ・スチルチェス外測度 』 という。

とくに、恒等写像 I: によって誘導されるものを 『 1次元ルベーグ外測度 』 という。

定義 ( ルベーグ測度 )

(dv)、dv) を 『 ルベーグ・スチルチェス測度 』 という。

とくに、v として恒等写像 I: を採用した場合、これを 『 1次元ルベーグ測度 』 という。

(dv)、dv) を ((dv)、dv) と表すことも多い。

Z27

I を開区間とする。( 無限区間でもよい )

v:I→ を右連続な非減少関数とする。

dv:Θ(I)→[0、∞) を v によって誘導されるジョルダン測度とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) dv(dv)→[0、∞] は完備測度である。

(2) 任意の a、b∈I ( ただし a<b ) に対し、(a、b]∈(dv) かつ dv(a、b]=v(b)−v(a)である。

(1)の証明

明らかである。(※Z19)

(2)の証明

明らかである。(※Z26(1)⇔(2)、Z21:ホップの拡張定理)