ルベーグ積分と広義積分のよくある誤解

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参考

このページではルベーグ積分と広義積分についてよくある誤解を紹介し、それを解く。

前半の議論はルベーグ積分の知識がない人でも概ね読めるように配慮している。

参考

以前に、ネット上で次のような文章を見たことがある。

「 ルベーグ積分は広義積分を含まないと知って学ぶ気が失せた 」

文脈を含めて判断するに、おそらく、この人は何か誤解しているかもしれない。

たしかに、ルベーグ積分は、(リーマン積分としての)広義積分を含まない場合がある。

しかし、ルベーグ積分に対して広義積分を考えれば、この問題は解決できる。

以下、これについて解説しよう。

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まず、念のため、(リーマン積分としての)広義積分を確認しておこう。

例えば、y=x−1/2 を左半開区間 (0、1] で積分してみよう。

これは次のように計算できる。



なぜ、このように計算するのだろう?

なぜなら、リーマン積分が 『 有界閉区間 』 で定義されているからである。

有界閉区間で定義されているから、そもそも、(0、1]上での積分を考えることができない。

だから、有界閉区間 [c、1] を考え、その積分を考え、c→+0 の極限をとる。

これを (0、1] 上の積分として定義した。

これが広義積分である。

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一方、ルベーグ積分はどうであろうか?

ルベーグ積分の定義域は 『 可測集合 』 である。

可測集合の定義は省略するが、とにかく、この集合は色々な集合を含んでいる。

例えば、開集合、閉集合、その共通部分、和集合、差集合など、すべて含む。

むろん、半開区間 (0、1] なども含む。

このように、ルベーグ積分は、出発点からして定義域が柔軟である。

とくに、有界閉区間上では、ルベーグ積分とリーマン積分は一致する。

では、それ以外ではどうであろうか?

実は、(リーマン積分として)広義積分可能であっても、ルベーグ積分不能となる場合がある。(★)

ここで、

「 おいおい、やっぱりルベーグ積分ダメじゃないか 」

・・・と思う人がいるかもしれない。

しかし、それこそが誤解である。

その誤解をすぐに解きたいが、まずは(★)の具体例について考えよう。

具体的には、次の積分がある。



なぜ、これがルベーグ積分不能なのか?

大雑把に説明しよう。

ルベーグ積分では ∫fdx を計算するときに、∫fdx−∫fdx を計算する。

( ただし、f=max{f、0}であり、f=max{−f、0} である )

( つまり、f と f は非負値関数である )

ところが、f(x)=sinx/x の場合、∫fdx と ∫fdx が発散してしまう。

すると、∞−∞ となって、できない。

よって、ルベーグ積分不能というわけである。

では、なぜ広義積分可能なのだろうか?

それは、有界閉区間上で積分を計算すると、+ と − が打ち消し合うからである。

結果として、広義積分は1つの値に収束する。



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ルベーグ積分の場合、最初から定義域全体を計算できることが裏目に出てしまったのである。

最初から定義域全体で計算したから、∫fdx と ∫fdx が発散してしまった。

この問題を解決することは簡単である。

ルベーグ積分でリーマン積分と同じように広義積分を考えればよいのだ。

つまり、次のように表示すればよい。

よって、ネット上のコメント 「 学ぶ気が失せた 」 というコメントは奇妙である。

この人はルベーグ積分が広義積分に対応できないと考えているのかもしれない。

既に述べたように、(リーマン積分として)広義積分可能であっても、ルベーグ積分不能となる場合がある。

これは誤解を生みやすい。

まるで、ルベーグ積分がダメであるかのようだ。

しかし、そもそも、リーマン積分は広義積分以外に手段がなかったのだ。

結果、リーマン積分不能と呼ばれずに済んだだけのことである。

参考

以下、上記の議論を詳しく議論する。

混同を避けるため、リーマン積分には(R)を付け、ルベーグ積分には(L)を付ける。

P1

f を、有限区間または無限区間上の非負値関数とする。

次の広義積分が収束するとする。



このとき、ルベーグ可積分であり、次が成り立つ。

証明

a が有限で積分区間が [a、∞) である場合について証明する。

( 他の場合も同様に証明できる )

=f・1[a、n) と定める。

いま、f↑f である。

また、



よって、次が成り立つ。(※単調収束定理)

P2 ( 積分の加法性 )

f:E→ を可測関数とする。

、E、・・・を互いに素な可算個の可測集合とする。

E=∪1≦n≦∞ であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

これはルベーグ積分論で非常に有名な定理であるから、証明は省略する。

この定理はリーマン積分で知られている次の定理に相当する。

P3

次の広義積分はルベーグ積分不能である。

証明

(sinx/x)=max{sinx/x、0} とおく。

(sinx/x)=min{−sinx/x、0} とおく。

E=∪1≦n≦∞[2nπ、(2n+1)π] とおく。

すると、次が成り立つ。(※P2)



同様に、



よって、( ∞−∞ は計算できないので ) ルベーグ積分不能である。