単調収束定理

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B32 ( 単調収束定理 )

:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

次のいずれか一方が成り立つとする。

(*1) f↑a.e.かつ、ある定数 M が存在して、任意の n に対して ∫(x)dx<M となる。

(*2) f↓a.e.かつ、ある定数 M が存在して、任意の n に対して ∫(x)dx>M である。

このとき、次が成り立つ。

(1) limn→∞(x)<∞ a.e.

(2) f(x)=limn→∞(x) は可積分である。

(3) ∫f(x)dx=limn→∞(x)dx

証明

条件(*1)が成り立つ場合について示す。

( 条件(*2)の場合は、以下の議論を −f に適用すればよい )

次のように定める。



いま、g≧0 であるから、定理が成り立つ。(※B30、B31)