ヒルベルト空間の直交分解定理

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定義 ( 閉部分空間 )

V を内積空間とする。

A を V の部分空間とする。

A は V の閉集合であるとする。

このとき、A を 『 V の閉部分空間 』 という。

既に述べたように、内積空間には自然に距離が入る。

この距離に関して閉集合を定義できる。

B13

V を内積空間とする。

A を V の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A は V の閉部分空間である。

(2) A⊂B ならば B⊂A

(3) (=A

(4) v∈A かつ v∈A ならば、v=0 である。

(5) A が V の部分空間ならば、A∩A={0} である。

(1)の証明

v、w∈A とおく。

いま、任意の u∈A に対し、(cv+cw、u)=c(v、u)+c(w、u)=0 である。

よって、cv+cw∈A である。

よって、A は部分空間である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(vn∈∈A が、ある点 v∈V に収束するとする。

いま、任意の w∈A に対し、(v、w)=limn→∞(v、w)=0 である。(※B8:内積の連続性)

よって、v∈A である。

よって、A は閉集合である。(※距離空間論)

(2)の証明

v∈B とおく。

いま、任意の w∈B に対し、(v、w)=0 である。

よって、とくに、任意の w∈A に対し、(v、w)=0 である。

よって、v∈A である。

(3)の証明

(2)より、(⊂A である。

v∈A とおく。

いま、任意の w∈A に対し、(v、w)=0 である。

よって、任意の w∈ に対し、(v、w)=0 である。(※B8:内積の連続性)

よって、v∈( である。

以上により、A ⊂( である。

(4)の証明

仮定より、(v、v)=0 である。

よって、v=0 である。

(5)の証明

いま、A と A は部分空間である。

よって、0∈A かつ 0∈A である。

よって、(4)より、A∩A={0}である。

B14

H をヒルベルト空間とする。

M を H の閉部分空間とする。

d:H→[0、∞) を d(v、M)=infx∈M|| x−v || で定める。

このとき、任意の v∈H に対し、ある w∈M が一意に存在して、d(v、M)=|| v−w || となる。

証明

以下、d(v、M)を d と略記することもある。

いま、ある (wn∈⊂M が存在して、0≦|| v−w ||−d(v、M)<1/n となる。(※下限の定義に注意)

また、|| v−w ||→d(v、M)である。

また、次が成り立つ。(※A13(中線定理)の補足)



よって、(wn∈ はコーシー列である。

よって、ある w∈M が存在して、w→w (n→∞)となる。

また、|| v−w ||=d(v、M)である。

いま、M は閉集合である。

よって、w∈M である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

d=|| x−v ||、d=|| x−v || とする。

上と同様に、|| x−x||≦2|| x−v ||+2|| x−v ||−4d=2d+2d−4d=0 である。

よって、x=x である。

B15 ( ヒルベルト空間の直交分解定理 )

H をヒルベルト空間とする。

M を H の閉部分空間とする。

このとき、任意の v∈H に対し、ある v∈M、v∈M が一意に存在して、v=v+v となる。

証明

v∈H とおく。

いま、ある w∈M が一意に存在して、d(v、M)=||v−w|| となる。(※B14)

u=v−w とおく。

( 以下、d(v、M)を d と略記する )

η∈M、t∈ とおく。

いま、w+tη∈M、d=|| u || である。

よって、d≦|| v−(w+tη)||=|| u−tη||=d−2tRe(u、η)+t||η|| である。

よって、−2tRe(u、η)+t||η||≧0 である。

よって、Re(u、η)≦0 である。(※判別式)

よって、Re(u、η)=0 である。

t の代わりに it を用いて同様に議論すると、Im(u、η)=0 である。

よって、(u、η)=0 である。

いま、ηは M の任意の元である。

よって、u∈M である。

以上により、v=w+u (w∈M、u∈M) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

v=v+v=w+w (v、w∈M、v、w∈M)とする。

いま、v−w=w−v である。

また、v−w∈M、w−v∈M である。

よって、v−w、w−v∈M∩M である。

よって、v−w=0、w−v=0 である。(※B13)

よって、v=w、w=v である。

以上により、一意性が示された。

B16

H をヒルベルト空間とする。

A を H の部分空間とする。

このとき、A⊥⊥ である。

証明

v∈A⊥⊥ とおく。

いま、任意の w∈A に対し、(v、w)=0 である。

また、 は閉部分空間である。

よって、ある v、v∈( が一意に存在して、v=v+v と表せる。(※B15:直交分解定理)

いま、(v、w)=(v+v、w)=(v、w)+(v、w)である。

よって、(v、w)=0、(v、w)=0 である。

いま、w は A に属する任意の点である。

また、(⊂A である。(※B13)

よって、w=v とすると、||v||=0 である。

よって、v=0 である。

よって、v=v である。

以上により、A⊥⊥ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

明らかに、A⊂A⊥⊥ である。

また、A⊥⊥ は閉集合である。(※B13)

よって、⊂A⊥⊥ である。