単調収束定理の前身〜その2、〜その3

サイトのTOP→理系インデックス
ルベーグ積分のTOP→ルベーグ積分インデックス




B30 ( 単調収束定理の前身〜その2 )

:E→[0、∞] を非負値可積分関数とする。

次が成り立つとする。

(*1) f↑f a.e.

(*2) ある定数 M が存在して、任意の n に対し、∫(x)dx<M となる。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は可積分である。

(2) limn→∞(x)dx=∫f(x)dx

証明

S={ x∈E|f↑f(x) } とおく。

いま、μ(E−S)=0 である。

=f・1 とおく。

g=f・1 とおく。

いま、g=f a.e.である。

また、g=f a.e.である。

また、g↑g である。

は可積分である。

よって、g は可積分である。(※B22:前身〜その1)

よって、f も可積分である。(※B27)

よって、limn→∞=limn→∞=∫g=∫f である。

B31 ( 単調収束定理の前身〜その3 )

;E→[0、∞] を非負値関数可積分関数とする。

次が成り立つとする。

(*1) f↑ a.e.

(*2) ある定数 M が存在して、任意の n に対し、∫(x)dx<M となる。

このとき、limn→∞(x)<∞ a.e.である。

補足

これは B14 の一般化である。

証明

B14 と同様である。