ルベーグ積分の基本性質

サイトのTOP→理系インデックス
ルベーグ積分のTOP→ルベーグ積分インデックス




B23 ( 積分の線形性 )

f、g:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) c∫f(x)dx=∫cf(x)dx ( c は定数 )

(2) ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

(1)の証明

いま、(cf)≦|c|max{ f、f } である。

また、(cf)≦|c|max{ f、f } である。

よって、cf は可積分である。(※B15(1))

とくに、c>0 の場合について示せば十分である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f が非負値関数の場合について示せば十分である。

いま、単関数列 (φ) が存在して、次が成り立つ。(※B21:道具、B22:前身)

(*1) φ↑f

(*2) limn→∞φ=∫

いま、(cφ)↑cf である。

よって、次のように計算できる。(※B22:前身、B12)

(*) ∫cf=limn→∞cφ=limn→∞c∫φ=c∫

(2)の証明

いま、(f+g)≦f+g である。

また、(f+g)≦f+g である。

よって、f+g は可積分である。(※B15(1))

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、f と g が非負値関数の場合について示す。

いま、単関数列 (φ)、(ψ) が存在して、次が成り立つ。(※B21:道具、B22:前身)

(*1) φ↑f

(*2) limn→∞∫φ=∫

(*3) ψ↑g

(*4) limn→∞∫ψ=∫

いま、(φ+ψ)↑f+g である。

よって、次のように計算できる。(※B22:前身)

(*5) ∫(f+g)=limn→∞(φ+ψ)=limn→∞φ+limn→∞ψ=∫f+∫

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、f と g の少なくとも一方が非負値でない場合について示す。

いま、(f+g)−(f+g)=f+g=(f−f)+(g−g) である。

よって、(f+g)+f+g=(f+g)+f+g である。

いま、上式両辺は非負値関数の和である。

よって、(*5)より、∫(f+g)+∫+∫=∫(f+g)+∫+∫ である。

つまり、∫(f+g)=∫f+∫g である。

B24 ( 積分の単調性 )

f、g:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

g≦f であるとする。

このとき、∫g(x)dx≦∫f(x)dx である。

補足

ここでは 『 g の可積分性 』 を仮定していることに注意しよう。

非負値関数の場合、これを仮定しなくても、g の可積分性は自動的に成り立つ。(※B15(1))

証明

いま、f−g≧0 である。

よって、∫(f−g)≧0 である。

一方、∫(f−g)=∫f+∫(−g)=∫f−∫g である。(※B23)

B25 ( 積分の平行移動不変性 )

f:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

このとき、∫E−cf(x+c)dx=∫f(x)dx である。

証明

f≧0 の場合について示せば十分である。

いま、単関数列 (φ) が存在して、φ↑f かつ limn→∞φ=f となる。(※B21:道具)

よって、次のように計算できる。(※B22:前身、B13)

(*) ∫E−cf(x+c)dx=limn→∞E−cφ(x+c)dx=limn→∞φ(x)dx=∫f(x)dx

B26 ( 積分の加法性 )

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

E=1≦k≦n ( 各 E は可測集合 ) と表せるとする。

各 E 上で f は可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は E 上で可積分である。

(2) ∫f(x)dx=1≦k≦nf(x)dx

証明

いま、f は E 上で可積分である。

よって、f・1 は E 上で可積分である。

よって、f=f・1+・・・+f・1 は E 上で可積分である。(※B23)

B27

f:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

g:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

g=f a.e.であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) g は可積分である。

(2) ∫g(x)dx=∫f(x)dx

証明

S={ x∈E|f(x)=g(x) } とおく。

いま、μ(E−S)=0 である。

よって、∫E−Sg=0=∫E−Sf である。(※B18)

よって、∫g=∫E−Sg+∫g=∫E−Sf+∫f=∫f である。(※B26)

B28

f:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f=0 a.e.

(2) ∫|f(x)|dx=0

証明

明らかである。(※B27、B15)

B29

a、b∈ とおく。

a<b であるとする。

このとき、次が成り立つ。

補足 

つまり、上記の積分をまとめて次のように表してよい。

証明

いま、[a、b]−(a、b)={a、b} は測度 0 である。(※A5、A8の補足)

よって、成り立つ。(※B26、B18)