a.e.(ほとんど至るところ)

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定義 ( ほとんど至るところ )

A を集合とする。

ある命題 P が成り立たない A の点が零集合であるとする。

このとき、「 P は A 上ほとんど至るところ成り立つ 」 という。

あるいは 「 P a.e.on A 」 と表す。

B11

f:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

g:E→[−∞、∞] を可測関数とする。

f=g a.e.on E であるとする。(★)

このとき、g は可測である。

補足

むろん、(★)は { f≠g } が零集合であることを意味する。

証明

N={ f≠g } とおく。

A=E−N とおく。

いま、{ g>c }=E∩{ g>c }=(A∩{g>c})∪{N∩{g>c}} である。

また、A、{ g>c }、N はいずれも可測である。(※A8、A6、定義:可測関数)

よって、{ g>c } も可測である。