ファトゥの補題、ルベーグの収束定理、項別積分

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B33 ( ファトゥの補題 )

:E→[0、∞] を非負値可積分関数とする。

このとき、∫liminfn→∞(x)dx≦liminfn→∞(x)dx である。

証明

(右辺)=∞ の場合は明らかである。

(右辺)<∞ の場合について示す。

(x)=inf{ f(x)、fm+1(x)、・・・ } とおく。

いま、g は可測関数である。(※B10)

また、g≦f より、g は可積分である。

いま、∫≦∫ ( n≧m ) である。

よって、∫≦inf{ ∫|n≧m }≦liminfn→∞ である。

いま、g↑liminfn→∞ である。

よって、∫liminfn→∞=limn→∞≦liminfn→∞ である。(※B32:単調収束定理)

B34 ( ルベーグの収束定理 )

、g:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

次が成り立つとする。

(*1) limn→∞(x)=f(x) a.e.

(*2) |f(x)|<g(x) a.e.

このとき、次が成り立つ。

(1) f は可積分である。

(2) ∫f(x)dx=limn→∞(x)dx

補足

上記の g を 『 (f)に対する優関数 』 という。

なので、この定理を 『 優収束定理 』 と呼ぶことも多い。

補足

この定理さえ証明すれば、残りの定理は応用として示される。

証明

零集合上での値を 0 とすれば、条件 a.e.を外して同様に議論できる。

いま、f(x)=limn→∞(x) は可測である。(※B10)

また、|f|≦g である。

よって、f は可積分である。(※B20(1))

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、g±f≧0 である。

よって、次のように計算できる。(※B33:ファトゥの補題)



また、次のように計算できる。(※B33:ファトゥの補題、S3)



よって、limsup∫≦∫f≦liminf∫ である。

よって、lim∫=∫f である。

B35 ( 有界収束定理 )

:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

μ(E)<∞ であるとする。

次が成り立つとする。

(*1) limn→∞(x)=f(x) a.e.

(*2) ある定数 M が存在して、任意の n に対し、|f(x)|≦M a.e.である。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は可積分である。

(2) ∫f(x)dx=limn→∞(x)dx

証明

明らかである。(※B34:ルベーグの収束定理)

有限測度の集合上で定値関数は可積分関数となることに注意。

B36 ( 項別積分〜その1 )

f:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

E=1≦n≦∞ ( 各 E は可測集合 ) とする。

このとき、∫f(x)dx=1≦n≦∞Enf(x)dx である。

補足

B26 では E 上の可積分性は不要であった。

しかし、今回は無限個の E を考えているので、E 上の可積分性を仮定する必要がある。

証明

=E+・・・+E とおく。

いま、f は A 上で可積分である。

=f・1An とおく。

いま、f は E 上で可積分である。

また、∫=∫Anf である。

また、|f|≦|f|である。

また、任意の x∈E に対し、limn→∞(x)=f(x) である。

よって、次が成り立つ。(※B26、B34:ルベーグの収束定理)

(*) ∫f=∫limn→∞=limn→∞=limn→∞f=limn→∞1≦k≦n

B37 ( 項別積分〜その2 )

:E→[−∞、∞] を可積分関数とする。

1≦n≦∞|f(x)|dx が収束するとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 1≦n≦∞|f(x)|は a.e.収束する。

(2) ∫1≦n≦∞(x))dx=1≦n≦∞(∫(x)dx)

証明

(x)=1≦k≦n|f(x)|とおく。

g(x)=limn→∞(x)=1≦n≦∞|f(x)|とおく。

いま、g(x)<∞ a.e.である。(※B32:単調収束定理)

つまり、1≦n≦∞ は a.e.絶対収束する。

よって、1≦n≦∞ は a.e.収束する。(※絶対収束する級数が収束することはよく知られている)

また、g は可積分である。(※B32:単調収束定理)

1≦k≦n とおく。

いま、|h|≦g a.e.である。

よって、次のように計算できる。(※B34:ルベーグの収束定理)

(*) ∫1≦n≦∞=∫limn→∞=limn→∞1≦n≦∞