線形位相空間において「分離的⇔ハウスドルフ」

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定義 ( 円形集合 )

X を K 上のベクトル空間とする。

A を X の部分集合とする。

次が成り立つとする。

(*) 「 x∈A、|c|≦1 」 ⇒ cx∈A

このとき、A を 『 円形集合 』 という。

を実ベクトル空間と見なした場合、[−1、1] は円形集合である。

定義 ( 凸集合 )

X を K 上のベクトル空間とする。

A を X の部分集合とする。

次が成り立つとする。

(*) 「 x、y∈A、a+b≧0、a+b=1 」 ⇒ ax+by∈A

このとき、A を 『 凸集合 』 という。

注意

円形かつ凸である集合を 『 円形凸集合 』 という。

定義 ( 吸収的 )

X を K 上のベクトル空間とする。

A を X の部分集合とする。

任意の x∈X に対し、ある c>0 が存在して、x∈cA となるとする。

このとき、「 A は吸収的である 」 という。

定義 ( 円形包、凸包 )

X を K 上のベクトル空間とする。

A を含む円形集合全体の共通部分を 『 A の円形包 』 という。

A を含む凸集合全体の共通部分を 『 A の凸包 』 という。

明らかに、円形包は円形である。

また、凸包は凸である。

明らかに、A の円形包は、A を含む最小の円形集合である。

明らかに、A の凸包は、A を含む最小の凸集合である。

注意

A を含む円形凸集合全体の共通部分を 『 A の円形凸包 』 という。

E5

X を K 上のベクトル空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A の円形包は { cx : |c|≦1、x∈A } と表される。

(2) A の凸包は { 1≦k≦n : n∈1≦k≦n=1、c≧0、x∈A ( k=1、・・・、n ) } と表される。

(3) A の円形凸包は { 1≦k≦n : n∈1≦k≦n|c|≦1、x∈A ( k=1、・・・、n ) } と表される。

証明

明らかである。

E6

X を K 上のベクトル空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A の円形凸包

(2) 「 A の円形包 」 の凸包

補足

ちなみに、次は一致するとは限らない。

(*1) A の円形凸包

(*2) 「 A の凸包 」 の円形包

証明

明らかである。(※E5)

E7

X を K 上のベクトル空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が円形ならば、0<a<b に対して aA⊂bA である。

(2) A が凸ならば、a、b>0 に対して (a+b)A=aA+bA である。

証明

明らかである。

定義 ( 線形位相 )

E を K 上のベクトル空間とする。

K は位相をもつとする。

φ : E×E→E を φ(x、y)=x+y で定める。

φ : K×E→E を φ(c、x)=cx で定める。

φ と φ は連続であるとする。

このとき、E を 『 線形位相空間 』 という。

φ と φ の連続性は次を意味する。(※直積位相の定義)

(*1) 任意の U∈N(x+y) に対し、ある V∈N(x)、W∈N(y) が存在して、V+W⊂U となる。

(*2) 任意の U∈N(ax) に対し、ある δ>0、V∈N(x) が存在して、|b−a|<δ ⇒ bV⊂U となる。

E8

X を線形位相空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) φ:X→X を φ(x)=x+x で定めると、φは同相写像である。

(2) φ:X→X を φ(x)=cx ( c≠0 ) で定めると、φは同相写像である。

(3) 任意の点 x∈X に対し、N(x)={ x+V|V∈N(0) } である。

(4) V∈N(0)ならば、cV∈N(0)である。

補足

(3)と(4)より、原点の基本近傍系 N(0)が本質的であることが分かる。

証明

定義(線形位相)において、φ の変数で一方を固定したものは連続である。

これは φ(x)=x+x の連続性を意味する。

よって、(1)が成り立つ。

同様に、(2)が成り立つ。

また、(1)より、(3)が成り立つ。

また、(2)より、(4)が成り立つ。

E9

X を線形位相空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の V∈N(0) に対し、ある W∈N(0) が存在して、W+W⊂V となる。

(2) 任意の V∈N(0) は吸収的である。

(1)の証明

V∈N(0)とおく。

いま、ある W、W∈N(0) が存在して、W+W⊂V となる。(※定義:線形位相)

ここで、W=W∩W とおく。

いま、W∈N(0)であり、W+W⊂V である。

(2)の証明

V∈N(0)とおく。

x∈X とおく。

いま、ある δ>0 が存在して|c−0|≦δ ⇒ cx∈V である。(※定義:線形位相)

よって、x∈(1/δ)V である。

E10

X を線形位相空間とする。

このとき、原点の基本近傍系 N(0) が存在して、次の(*1)〜(*3)を満たす。

(*1) 任意の V∈N(0) は円形かつ吸収的である。

(*2) 任意の V∈N(0) に対し、ある W∈N(0) が存在して、W+W⊂V となる。

(*3) V∈N(0) かつ c≠0 ならば、cV∈N(0) である。

証明

U∈N(0) とおく。

いま、ある δ>0、V∈N(0) が存在して 「|c−0|≦δ かつ x∈V ならば、cx∈U 」 となる。

W={ cx:|c|≦δ、x∈V } とおく。

いま、δV⊂W⊂U である。

また、δV∈N(0) である。

よって、W∈N(0) である。

いま、W は円形である。

そこで、N(0)に属する円形集合全体を N と表す。

いま、N は(*1)を満たす。(※E9(2))

また、N は(*2)を満たす。(※E9(1))

また、N は(*3)を満たす。(※E8(4))

E11

X を K 上のベクトル空間とする。

ある ( E の ) の部分集合族 N が存在して、次を満たすとする。

(*1) 任意の V∈N は円形かつ吸収的である。

(*2) 任意の V∈N に対し、ある W∈N が存在して、W+W⊂V となる。

(*3) V∈N かつ c≠0 ならば、cV∈N である。

(*4) 任意の V、W∈N に対し、ある U∈N が存在して、U⊂V∩W となる。

このとき、ある ( X の ) の線形位相が存在して、原点が基本近傍系となる。

証明

x∈X とおく。

(x)={ x+V|V∈N } とおく。

(x)が次を満たすことを示せばよい。(※E4)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)より、任意の V∈N は 0 を含む。

よって、(*5)が成り立つ。

(*4)より、(**2)が成り立つ。

x+V∈M(x)とおく。( つまり、V∈N

(*2)より、ある W∈N が存在して、W+W⊂V である。

よって、任意の y∈x+W に対し、y+W⊂x+W+W⊂x+V である。

これで(**3)が示された。

以上により、M(x)を x の基本近傍系とする ( E の ) 位相が定まった。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、この位相が線形位相であることを示す。

V∈N とおく。

いま、ある W∈N が存在して、W+W⊂V となる。

x、y∈X とおく。

いま、(x+W)+(y+W)⊂x+y+V である。

つまり、和による演算は連続である。( つまり、定義(線形位相)の φ は連続である )

c∈K、x∈X とおく。

いま、ある W∈N が存在して、W+W⊂V となる。

いま、W は吸収的である。

よって、ある δ>0 が存在して、δx∈W となる。

ここで、|b−a|<δ、y∈x+(|a|+δ)−1W とおく。

いま、|b|<|a|+δ である。

また、W は円形である。

よって、by−ax=(b−a)x+b(y−x)∈W+W⊂V である。

いま、(*3)より、(|a|+δ)−1W∈N である。

よって、スカラー倍の連続性が示された。( つまり、定義(線形位相)の φ は連続である )

E12

X を線形位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、Cl(A)=∩V∈N(0)(A+V) である。

証明

x∈Cl(A) とおく。

いま、任意の V∈N(0) に対して x−V∈N(x) である。

よって、(x−V)∩A≠φ である。

よって、ある y∈A、z∈V が存在して、x−z=y となる。

いま、x=y+z∈A+V である。

よって、x∈∩V∈N(0)(A+V)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈∩V∈N(0)(A+V)である。

いま、任意の V∈N(0) に対し、−V∈N(0) である。

よって、x∈A−V である。

よって、ある y∈A、z∈V が存在して、x=y−z となる。

いま、x+z∈x+V、y∈M、x+z=y である。

つまり、(x+V)∩A≠φ である。

つまり、x∈Cl(A) である。

E13

X を線形位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が円形ならば、Cl(A) も円形である。

(2) A が凸ならば、Cl(A) も凸である。

(1)の証明

x∈Cl(A) とおく。

|c|≦1 とおく。

c=0 の場合、明らかに、cx∈Cl(A) である。

c≠0 の場合について考える。

いま、任意の V∈N(0) に対して x+(1/c)V∈N(x) である。

よって、{ x+(1/c)V }∩A≠φ である。

よって、ある y∈(1/c)V、z∈A が存在して、x+y=z となる。

いま、cx+cy=cz であり、cy∈V である。

また、cz∈A である。(※定義:円形)

よって、(cx+V)∩A≠φ である。

つまり、cx∈Cl(A) である。

(2)の証明

x、y∈Cl(A) とおく。

a、b≧0、a+b=1 とする。

a=0 かつ b=0 の場合、明らかに、ax+by∈Cl(A) である。

a>0、b>0 の場合について考える。

いま、任意の V∈N(0) に対し、ある W∈N(0) が存在して、W+W⊂V となる。

また、(x+a−1W)∩A≠φ、(y+b−1W)∩A≠φ である。

よって、ある x∈a−1W、y∈b−1W が存在して、x+x、y+y∈A となる。

よって、z=a(x+x)+b(y+y)∈A である。(※定義:凸集合)

一方、z∈ax+by+(W+W)⊂ax+vy+V である。

よって、(ax+by+V)∩A≠φ である。

よって、ax+by∈Cl(A) である。

定義 ( 円形凸閉包 )

X を線形位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、A を含む円形凸閉集合全体の共通部分を 『 A の円形凸閉包 』 という。

明らかに、A の円形凸閉包は 「 A を含む最小の円形凸閉集合 」 である。

E14

X を線形位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A の円形凸閉包

(2) A の円形凸包の閉包

証明

を、A の円形凸包とする。

いま、Cl(A) は、円形凸閉集合である。(※E9)

を、A を含む円形凸閉集合とする。

いま、A⊂A である。

また、Cl(A)⊂A である。(※Aは閉集合)

よって、Cl(A) は A の円形凸閉包である。

定義 ( 分離的 )

X を線形位相空間とする。

任意の点 x∈X ( x≠0 ) に対し、ある V∈N(0) が存在して、x∈X−V となるとする。

このとき、「 X の位相は分離的である 」 という。

E15 ( 線形位相空間において 「 分離的 ⇔ ハウスドルフ 」 )

X を線形位相空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) X の位相は分離的である。

(2) X はハウスドルフ空間である。

証明

(2)⇒(1)は明らかである。

(1)を仮定する。

x、y∈X とおく。

x≠y であるとする。

いま、x−y≠0 である。

よって、ある V∈N(0) が存在して、x−y∈X−V となる。

いま、ある円形集合 W∈N(0) が存在して、W+W⊂V となる。

また、x+W∈N(x)、y+W∈N(y) である。

(x+W)∩(y+W)≠φであると仮定する。(背理法)

いま、ある z、z∈W が存在して、x+z=y+z である。

よって、x−y=z−z∈W+W⊂V である。

これは矛盾である。

よって、(x+W)∩(y+W)=φ である。

つまり、X はハウスドルフ空間である。