数列の上極限、下極限

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注意

次の記号は同じ意味をもつ。



また、次の記号は同じ意味をもつ。

このサイトでは状況に応じて両方の表記を用いる。

定義 ( 数列の上極限、下極限 )

(an∈ を実数列とする。

次のような値を 『 (an∈ の上極限 』 という。



次のような値を 『 (an∈ の下極限 』 という。

定義 ( 数列の極限 )

数列(an∈ に対し、次が成り立つとする。



このとき、「(an∈ は a に収束する 」 といい、次のように表す。

参考 ( なぜ上極限と下極限を定義するのか )

数列が有界であっても、その数列が極限をもつとは限らない。

しかし、数列が有界であれば、上限と下限は存在する。(※実数の連続性)

そこで、これらを用いて上極限と下極限を定義したのである。

上極限は 「 上限全体の下限 」 であり、下極限は 「 下限全体の上限 」 である。

S1 ( 下極限≦上極限 )

(an∈ を実数列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかに、任意の m∈ に対し、



よって、



よって、

S2 ( 数列の極限に対する同値条件 )

(an∈ を実数列とする。

このとき、次は同値である。

補足

(2)はよく知られている数列の極限の定義である。

証明

(1)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある N(1)∈ が存在して、infn≧N(1)>a−εとなる。

また、ある N(2)∈ が存在して、supn≧N(2)<a+εとなる。

N=max{N(1)、N(2)}とおく。

いま、a−ε<infn≧N≦supn≧N<a+εである。

つまり、n≧N ⇒|a−a|<εである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|a−a|<εである。

よって、a−ε≦infn≧Nlimn→∞ である。

同様に、limn→∞≦a+εである。

よって、a−ε≦limn→∞limn→∞≦a+εである。(※S1)

よって、limn→∞limn→∞=a である。

S3

(an∈ を実数列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

定義より、



(2)を用いると、



(1)を用いると、

S4

(i) ( i=1、・・・、m ) を m 個の非負値数列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

limn→∞1≦i≦n(i)=∞ の場合は明らかである。

limn→∞1≦i≦n(i)<∞ の場合を考える。

いま、任意の i∈{1、・・・、m} に対し、a(i)1≦k≦m(k) である。

よって、limn→∞(i)limn→∞1≦k≦m(k)<∞ である。

ε>0 とおく。

いま、ある N(i)∈ が存在して、limn→∞(i)<ε/m+infr≧N(i)(i) である。

M=max{N(1)、・・・、N(m)} とおく。

いま、s≧M ⇒ infr≧N(i)(i)≦a(i) である。

よって、s≧M ⇒ 1≦i≦mlimn→∞(i)<ε+1≦i≦m(i) である。

よって、1≦i≦mlimn→∞(i)≦ε+infs≧M1≦i≦m(i)≦ε+supn∈infs≧n1≦i≦m(i) である。

つまり、1≦i≦mlimn→∞(i)limn→∞1≦i≦m(i) である。