集合の上極限、下極限

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定義 ( 集合の上極限、下極限 )

(An∈ を集合列とする。

また、次のような集合を 『 上極限集合 』 という。



このとき、次のような集合を 『 下極限集合 』 という。

定義 ( 集合の極限 )

集合列(An∈ に対し、次が成り立つとする。



このとき、「 A は A に収束する 」 といい、次のように表す。

limn→∞ は A を外側から包み込む。

limn→∞ は A の内側から膨張する。

定義 ( 増大列、減少列 )

(An∈ を集合列とする。

任意の n∈ に対して A⊂An+1 であるとき、(An∈ を 『 増大列 』 という。

任意の n∈ に対して An+1⊂A であるとき、(An∈ を 『 減少列 』 という。

(An∈ が増大列であるとき、A↑ と表す。

(An∈ が減少列であるとき、A↓ と表す。

増大列(An∈ が A に収束するとき、A↑A と表す。

減少列(An∈ が A に収束するとき、A↓A と表す。

S5 ( 下極限⊂上極限 )

(An∈ を集合列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

次のようにおく。



分かり易くするために、式を書き換えると、



いま、



ここで、n∈ とおく。

M=max{N、n}とおく。

( これは 「 N と n のうち、大きい方を M とする 」 という意味である )

このとき、



つまり、



任意の n に対して上式が成り立つから、



以上により、

S6 ( 増大集合列の極限は和集合 )

(An∈ を集合列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

⊂An+1 であるから、A は増大列である。



よって、





よって、

(2)の証明

n+1⊂A であるから、A は減少列である。



よって、





よって、

S7

(An∈ を集合列とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

ただし、(1)では ∩n≦k≦∞ を n の数列として考える。

=∩n≦k≦∞ とおくと分かりやすい。

(2)についても同様である。

証明

明らかである。(※S6)