σ加法族、測度〜その1

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注意

A と B が互いに素な集合であるとき、A∪B を A+B と表してよいとする。

、・・・、A が互いに素な集合であるとき、∪1≦k≦n1≦k≦n と表してよいとする。

定義 ( σ加法族 )

を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(1) φ∈X

(2) A∈ ⇒ A

(3) A ( n∈ ) ⇒ ∪1≦n≦∞

このとき、 を 『 X のσ加法族 』 という。

定義 ( 測度 )

を X のσ加法族とする。

μ:→[0、∞] を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) μ(φ)=0

(2) A ( n∈ ) は互いに素である ⇒μ(1≦n≦∞)=1≦n≦∞μ(A

このとき、μを 『 測度 』 という。

また、組 (X、、μ) を 『 測度空間 』 という。

とくに、(2)を 『 σ加法性 』 という。

(2)では右辺の級数が +∞ に発散する場合も含める。

その場合、広義実数としての +∞ を値として対応させる。

μの終域は、[0、∞)ではなくて、[0、∞] であることに注意。

Z1

を X 上のσ加法族とする。

次が成り立つ。

(1) X∈

(2) A、B∈ ⇒ A∪B∈

(3) A、B∈ ⇒ A∩B∈

(4) A、B∈ ⇒ A−B∈

(5) A ( n∈ ) ⇒ ∩1≦n≦∞

(1)の証明

明らかである。(※定義:σ加法族)

(2)の証明

=A、A=B、A=φ(n≧3)とおく。

いま、A∪B=∪1≦n≦∞ である。(※定義:σ加法族)

(3)の証明

いま、A、B である。

よって、(2)より、A∪B である。

よって、A∩B=(A∪B である。(※定義:σ加法族)

(4)の証明

いま、A、B∈ である。

よって、(2)より、A∪B∈ である。

よって、A−B=(A∪B) である。(※定義:σ加法族)

(5)の証明

いま、A である。

よって、U1≦n≦∞ である。(※定義:σ加法族)

よって、∩1≦n≦∞=(∪1≦n≦∞ である。(※定義:σ加法族)