σ加法族、測度〜その2

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Z2 ( 有限加法性、単調性、劣加法性 )

A、B∈ に対し、次が成り立つ。

(1) μ(A+B)=μ(A)+μ(B)

(2) A⊂B ⇒ μ(A)+μ(B−A)=μ(B)

(3) 「 A⊂B かつ μ(A)<+∞ 」 ⇒ μ(B−A)=μ(B)−μ(A)

(4) A⊂B ⇒ μ(A)≦μ(B)

(5) μ(A∪B)≦μ(A)+μ(B)

補足

(1)を 『 有限加法性 』 という。

(4)を 『 単調性 』 という。

(5)を 『 劣加法性 』 という。

(1)の証明

=A、A=B、A=φ(n≧3)とおく。

いま、μ(φ)=0 である。

よって、μ(A+B)=μ(1≦n≦∞)=1≦n≦∞μ(A)=μ(A)+μ(B)である。(※定義:測度)

(2)の証明

いま、A⊂B である。

よって、B=A∪(B−A)である。

いま、A∩(B−A)=φである。

つまり、B=A+(B−A)である。

よって、(1)より、μ(B)=μ(A)+μ(B−A)である。

(3)の証明

いま、μ(A)<+∞である。

そこで、(2)の両辺からμ(A)を引けばよい。

(4)の証明

いま、μ(B−A)≧0 である。(※定義:測度)

よって、(2)より、μ(A)≦μ(B)である。

(5)の証明

=A、A=B−A とおく。

いま、A⊂B である。

よって、(4)より、μ(A)≦μ(B)である。

よって、(1)より、μ(A∪B)=μ(A+A)=μ(A)+μ(A)≦μ(A)+μ(B)である。

Z3 ( 増加列連続性、減少列連続性 )

( n∈ ) に対し、次が成り立つ。

(1) A↑A ⇒ μ(A)↑μ(A)

(2) 「 A↓A かつ μ(A)<+∞ 」 ⇒ μ(A)↓μ(A)

補足

次jのように表しても意味は同じである。

(*1) A⊂An+1 ⇒ limn→∞μ(A)=μ(limn→∞

(*2) An+1⊂A、μ(A)<+∞ ⇒ limn→∞μ(A)=μ(limn→∞

つまり、『 集合列の極限 』 と 『 測度の極限 』 を交換できる。

また、S6 より、

(*3) A⊂An+1 ⇒ limn→∞=∪1≦n≦∞

(*4) An+1⊂A ⇒ limn→∞=∩1≦n≦∞

よって、例えば、(*1)の limn→∞ を ∪1≦n≦∞ に置き換えてよい。

(1)の証明

ある m∈ に対してμ(A)=∞ である場合を考える。

いま、μ(A)=∞ ( n≧m ) である。

よって、limn→∞μ(A)=∞ である。

一方、A⊂∪1≦n≦∞ である。

よって、μ(∪1≦n≦∞)≧μ(A)=∞ である。

また、A=∪1≦n≦∞ である。(※S6)

よって、μ(A)=∞ である。

よって、limn→∞μ(A)=μ(A)である。

明らかに、μ(A)は増大列である。(※Z2)

よって、μ(A)↑μ(A)と表してよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

任意の n∈ に対してμ(A)<+∞ である場合を考える。

いま、∪1≦n≦∞=∪1≦n≦∞(A−An−1)である。( ただし A=φ )

明らかに、(An+1−A)∩(Am+1−A)=φ ( m≠n ) である。

つまり、∪1≦n≦∞1≦n≦∞(A−An−1)と表してよい。

以上により、次が成り立つ。(※定義:測度、Z2)



つまり、μ(A)↑μ(A)である。(※S6)

(2)の証明

=A−A とおく。

いま、B⊂B⊂・・・である。

よって、(1)より、次が成り立つ。(※Z2)



一方、



よって、μ(A−∩1≦n≦∞)=μ(A)−limn→∞μ(A)である。

また、∩1≦n≦∞⊂A である。

よって、μ(∩1≦n≦∞)≦μ(A)<+∞ である。(※Z2)

よって、μ(A−∩1≦n≦∞)=μ(A)−μ(∩1≦n≦∞)である。(※Z2)

以上により、μ(A)−μ(∩1≦n≦∞)=μ(A)−limn→∞μ(A)である。

よって、limn→∞μ(A)=μ(∩1≦n≦∞)である。

つまり、μ(A)↓μ(A)である。(※S6)