σ加法族、測度〜その3

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Z4 ( 測度に関するファトゥの補題 )

( n∈ ) に対し、次が成り立つ。

(1) μ(limn→∞)≦limn→∞μ(A

(2) μ(∪1≦n≦∞)<∞ ⇒ μ(limn→∞)≧limn→∞μ(A

(1)の証明

いま、∩n≦k≦∞ である。

また、∩n≦k≦∞⊂A である。

よって、μ(∩n≦k≦∞)≦μ(A)である。(※Z2)

一方、∩n≦k≦∞limn→∞ である。(※S7)

よって、次が成り立つ。(※Z3)

(*) μ(limn→∞)=limn→∞μ(∩n≦k≦∞)=limn→∞μ(∩n≦k≦∞)≦limn→∞μ(A

(2)の証明

いま、∪n≦k≦∞ である。

また、A⊂∪n≦k≦∞ である。

よって、μ(A)≦μ(∪n≦k≦∞)である。(※Z2)

一方、∪n≦k≦∞limn→∞ である。(※S7)

よって、次が成り立つ。(※Z3)

(*) μ(limn→∞)=limn→∞μ(∪n≦k≦∞)=limn→∞μ(∪n≦k≦∞)≧limn→∞μ(A

Z5 ( 可算劣加法性 )

に対し、次が成り立つ。

(*) μ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞μ(A

証明

次が成り立つ。(※Z3、Z2:劣加法性)

(*) μ(∪1≦n≦∞)=limn→∞μ(∪1≦k≦n)≦limn→∞1≦k≦nμ(A)=1≦k≦∞μ(A

Z6 ( ボレル・カンテリの補題 )

( n∈ ) であるとする。

1≦n≦∞μ(A)<+∞ であるとする。

このとき、μ(limn→∞)=0 である。

証明

いま、μ(∩1≦n≦∞n≦k≦∞)≦μ(∪n≦k≦∞)≦n≦k≦∞μ(A)である。(※Z2、Z5)

仮定より、1≦n≦∞μ(A)は収束している。

よって、limn→∞n≦k≦∞μ(A)=0 である。

よって、μ(∩1≦n≦∞n≦k≦∞)=0 である。

つまり、μ(limn→∞)=0 である。