外測度=内測度=測度

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参考

このページでは測度の理解を深めるために 『 内測度 』 を定義する。

ただし、これは議論の本筋から外れるので、読まなくてもよい。

定義 ( 内測度 )

μ:Pow()→[0、∞] を μ(A)=sup{ μ(F)|F⊂A、F は閉集合 } と定める。

このとき、μ を 『 内測度 』 という。

A16 ( 外測度=内測度=測度 )

A が可測ならば、μ(A)=μ(A) である。

補足

つまり、可測集合 A に対し、μ(A)=μ(A)=μ(A) である。(※定義:外測度)

補足

つまり、μ(A)=sup{ μ(F)|F⊂A、F は閉集合 } である。

実は、F を有界閉集合に限定しても同じ結果を得る。

つまり、μ(A)=sup{ μ(F)|F⊂A、F は有界閉集合 } である。

むろん、μ(A)=sup{ μ(F)|F⊂A、F はコンパクト } と表しても意味は同じである。

詳しくは、以下の証明を参考。

証明

明らかに、μ(A)≧sup{ μ(F)|F⊂A、F は有界閉集合 } である。(※測度の単調性)

よって、μ(A)≦sup{ μ(F)|F⊂A、F は有界閉集合 } を示せばよい。

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まず、A が有界である場合について示す。

A⊂[a、b] とする。

ε>0 とおく。

いま、ある開集合 G が存在して、次を満たす。(※A13)

(*1) [a、b]−A⊂G

(*2) μ(G)≦μ([a、b]−A)+ε=μ[a、b]−μ(A)+ε

いま、F=[a、b]−G は有界閉集合である。

また、μ(F)=μ([a、b]−[a、b]∩G)=μ[a、b]−μ([a、b]∩G)≧μ[a、b]−μ(G) である。

よって、(*2)より、μ(F)≧μ(A)−ε である。

よって、μ(A)≦sup{ μ(F)|F⊂A、F は有界閉集合 } である。

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次に、A が有界でない場合について考える。

=[−n、n]∩A とおく。

いま、A=∪1≦n≦∞ である。

また、A⊂An+1 である。

よって、μ(A)↑μ(A)である。(※A12)

η<μ(A) とおく。

いま、ある A が存在して、η<μ(A) となる。

0<ε<μ(A)−η とおく。

いま、A は有界である。

よって、上の結果より、ある有界閉集合 F が存在して、次を満たす。

(**1) F⊂A

(**2) μ(F)≧μ(A)−ε>η

以上により、任意の η<μ(A) に対し、ある有界閉集合 F が存在して、F⊂A かつ μ(F)>η となる。

つまり、μ(A)≦sup{ μ(F)|F⊂A、F は有界閉集合 } である。