双対空間、リースの表現定理

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定義 ( 汎関数、双対空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

f を V の部分空間から K への写像とする。

このとき、f を 『 汎関数 』 という。

とくに、f が V から K への有界線形作用素であるとき、f を 『 有界線形汎関数 』 という。

V 全体を定義域とする有界線形汎関数全体を V と表す。

このとき、V を 『 V の双対空間 』 という。

明らかに、V は有界線形汎関数の和とスカラー倍に関して K 上のベクトル空間である。

C15 ( リースの表現定理 )

H をヒルベルト空間とする。

F∈H とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) あるη∈H が一意に存在して、F(w)=(w、η)と表される。

(2) ||η||=||F|| が成り立つ。

補足

ちなみに、リースの表現定理の拡張として 『 ラックス・ミルグラムの定理 』 がある。

ラックス・ミルグラムの定理は、偏微分方程式の理論において有用である。

(1)の証明

まず、KerF=H の場合を考える。

η=0 とする。

いま、F(w)=0=(w、η)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、KerF≠H の場合を考える。

いま、KerF は閉部分空間である。(※C6)

よって、ある v∈(KerF) が存在して、F(v)≠0 となる。(※B15:直交分解定理)

w∈H とおく。

u=w−F(w)F(v)−1v とおく。

いま、u∈KerF である。

よって、(u、v)=0 である。

u の式を代入すると、(w、v)−F(w)F(v)−1||v||=0 である。

式変形すると、F(w)=F(v)(w、v)/||v|| である。

ここで、η=F(v)v/||v|| とおく。

いま、F(w)=(w、η)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、ηの存在が示された。

次に、一意性を示す。

あるζ∈H が存在して、F(w)=(w、ζ)と表されるとする。

いま、(w、ζ−η)=0 である。

また、w は任意である。

そこで、w=ζ−ηとしてよい。

いま、(ζ−η、ζ−η)=0 である。

よって、ζ=ηである。

(2)の証明

η=0 の場合は明らかである。

η≠0 の場合を考える。

いま、|(w、η)|<||w||||η|| である。(※シュワルツの不等式)

よって、|(w、η)|/||w||≦||η|| である。

よって、supw≠0、w∈H|(w、η)|/||w||≦||η|| である。

一方、||F||=supw≠0||Fw||/||w|| である。(※C3)

つまり、(1)より、||F||=supw≠0、w∈H|(w、η)|/||w|| である。

よって、||F||≦||η|| である。

一方、||F(η)||≦||F||||η|| である。(※定義:作用素ノルム)

また、F(η)=||η|| である。

よって、||η||≦||F|| である。