可測集合、ボレル集合

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定義 ( 可測集合 )

A⊂ を集合とする。

任意の X⊂ に対して次が成り立つとする。

(*) μ(X)=μ(X∩A)+μ(X−A)

このとき、A を 『 μ の可測集合 』 という。

あるいは、「 A は可測である 」 という。

μ の可測集合全体を (μ) と表す。

上記の(*)は次と同値である。

(**) μ(X)≧μ(X∩A)+μ(X−A)

実際、μ(X)≦μ(X∩A)+μ(X−A) は自動的に成り立つ。(※A2)

また、μ=∞ の場合に(**)が成り立つことは明らかである。

結局、μ<∞ の場合についてのみ(**)を示せば、A が可測集合であると分かる。

A6

(1) φ や は可測である。

(2) A が可測 ⇒ −A は可測

(3) 有限個の可測集合の和集合は可測である。

(4) 有限個の可測集合の共通部分は可測である。

(5) 可算無限個の可測集合の和集合は可測である。

(6) 可算無限個の可測集合の共通部分は可測である。

(7) A、B は可測ならば、A−B は可測である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

いま、μ(X)=μ(X∩A)+μ(X−A)=μ(X−(−A))+μ(X∩(∩A)) である。

つまり、−A は可測である。

(3)の証明

、A を可測集合とする。

X を任意の集合とする。

一般に、A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C−B) である。

よって、μ(X∩(A∪A))≦μ(A∩B)+μ(A∩C−B)である。

よって、(★)より、次が成り立つ。(※A2)



つまり、A∪A は可測である。

(4)の証明

、A を可測集合とする。

(2)より、A、A は可測である。

よって、(3)より、A∪A は可測である。

よって、(2)より、A∩A は可測である。

(5)の証明

、A、・・・を可測集合とする。

B=∪1≦n≦∞、B=∪1≦k≦n とおく。

=B−Bn−1 とおく。

いま、(3)より、B は可測である。(★1)

また、(2)、(4)より、C は可測である。(★2)

X を任意の集合とする。

(★1)、(★2)より、次が成り立つ。

(*) μ(X∩B)=μ(X∩B∩C)+μ(X∩B−C)=μ(X∩C)+μ(X∩Bn−1

上式の両辺を足し合わせると、μ(X∩B)=1≦k≦nμ(X∩C) である。

いま、X−B⊂X−B である。

よって、次が成り立つ。(※A2)



よって、n→∞ とすると、次が成り立つ。(※A2)



つまり、B は可測である。

(6)の証明

、A、・・・を可測集合とする。

(2)より、A、A、・・・ は可測である。

よって、(5)より、∪1≦n≦∞ は可測である。

よって、(2)より、∩1≦n≦∞ は可測である。

(7)の証明

いま、A−B=A∩(−B)である。

よって、(2)、(4)より、A−B は可測である。

参考 ( σ加法族 )

を X の部分集合族とする。

次が成り立つとする。

(1) φ∈X

(2) A∈ ⇒ A

(3) A ( n∈ ) ⇒ ∪1≦n≦∞

このとき、 を 『 X のσ加法族 』 という。

ここで、X は一般の集合を意味していることに注意。

既に示したように、 上の可測集合全体はσ加法族である。(※A6)

抽象的な測度論では、先に(1)〜(3)を要請し、その上に測度を構成する。

定義 ( ボレル集合 )

を開集合とする。

を閉集合とする。

次のような集合を考える。



上記のような各集合を 『 ボレル集合』 という。

とくに、(*1)の集合で、1つ目を 『 Gδ集合 』 といい、2つ目を 『 Fσ集合 』 という。

また、(*2)の集合で、1つ目を 『 Gδσ集合 』 といい、2つ目を 『 Fσδ集合 』 という。

また、(*3)の集合で、1つ目を 『 Gδσδ集合 』 といい、2つ目を 『 Fσδσ集合 』 という。

他も同様である。

添え字のギリシャ文字δとσはドイツ語に由来している。

δ : Durchschnitt 「 交わり 」

σ : Summe 「 和 」

ちなみに、σ は の小文字である。

A7

(1) 開区間は可測である。

(2) 任意の開集合と閉集合はボレル集合に属する。

(3) ボレル集合は可測である。

補足

以下、 について示す。

ただし、これらの証明はそのまま に拡張できる。

(1)の証明

(a、b) を開区間とする。( a=−∞ または b=∞ の場合も認める )

X を集合とする。

ε>0 とおく。

いま、互いに素な有界半開区間 (a、b] が存在して、次を満たす。(※S11、定義:外測度)

(*1) X⊂∪1≦n≦∞(a、b

(*2) μ(X)≦1≦n≦∞(b−a)≦μ(X)+ε

よって、次が成り立つ。(※A2)



よって、μ(X∩(a、b))+μ(X−(a、b))≦μ(X) である。

つまり、(a、b) は可測である。

(2)の証明

F⊂ を閉集合とする。

明らかに、F は Fσ である。

一方、F=∩1≦n≦∞x∈F(x−1/n、x+1/n) と表せる。

( よって、F は Gδ でもある )

補集合をとると、開集合が Fσ であることも分かる。

(3)の証明

(2)より、明らかである。(※A6)