微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ver

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参考

このページでは次を示す。

(1) 単調関数は a.e.で微分可能である。

(2) 絶対連続関数は a.e.で微分可能である。

(3) f がルベーグ可積分 ⇔ ある絶対連続関数 F が存在して、f=F’(a.e.)

とくに、(3)は(リーマン積分の)微分積分学の定理に相当する。

以下の議論は長く視えるかもしれない。

しかし、実際には多くの議論は 『 ヴィタリの被覆定理 』 によって証明される。

つまり、同じような議論が繰り返されることが多い。

この意味で、実質的にはそれほど面倒な議論ではない。

ちなみに、「 f’が有界 ⇒ 絶対連続 ⇒ 一様連続 ⇒ 連続 」 である。

これについては以下で詳しく議論する。

P1

E を可測集合とする。

f:E→ を可積分関数とする。

このとき、任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、次を満たす。

(*) S⊂E、μ(S)<δ ⇒ ∫|f(x)dx|<ε

補足

この定理は後の絶対連続性の理論で用いる。

証明

f≧0 の場合について示せば十分である。

いま、ある非負値単関数列 φ が存在して、次を満たす。(※B21:道具、B32:単調収束定理)

(*1) φ↑f

(*2) ∫φ(x)dx↑∫f(x)dx

n を十分大きくとると、∫f(x)dx−∫φ(x)dx=∫(f(x)−φ(x))dx<ε

いま、φ は有限個の値をもつ。

そこで、それらの最大値を M とする。

δ<ε/M とおく。

いま、μ(S)<δ ならば、∫φ(x)dx≦∫Mdx=Mμ(S)<ε である。

よって、次が成り立つ。

(*3) ∫f(x)dx=∫(f(x)−φ(x))dx+∫φ(x)dx≦∫(f(x)−φ(x))dx+∫φ(x)dx<2ε

定義 ( 有界変動 )

f:I→ を関数とする。

[a、b]⊂I であるとする。

(s、t)⊂[a、b];i=1、・・・、n を(任意の)互いに素な有限個の開区間とする。

このとき、1≦i≦n|f(s)−f(t)|全体を 『 f の [a、b] における変動 』 という。

f の変動が有界であるとき、「 f は有界変動である 」 という。

また、f の変動の上限を V(f、a、b) と表す。

このとき、V(f、a、b) を 『 f の [a、b] における全変動 』 という。

全変動は積分に似た性質をもつ。

参考

有界変動ならば有界である。

しかし、逆は成り立たない。

次のように定める。



図示すると、



ここで、次のように互いに素な開区間を考える。



いま、1≦i≦n|f(s)−f(t)|=1≦i≦nf(s)=n である。

つまり、n を大きくすれば変動はいくらでも大きくなる。

P2

単調関数は有界変動である。

証明

f:[a、b]→ を単調増加関数とする。

いま、1≦i≦n|f(s)−f(t)|=1≦i≦n(f(t)−f(s))≦f(b)−f(a) である。

P3 ( 全変動の加法性 )

f:[a、b]→ を有界変動関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は [a、b] の部分区間においても有界変動である。

(2) a<ξ<b ⇒ V(f、a、b)=V(f、a、ξ)+V(f、ξ、b)

(1)の証明

[s、t]⊂[a、b] とする。

いま、V(f、s、t)≦V(f、a、b)<∞ である。

(2)の証明

(s、t)⊂[a、ξ] を互いに素な開区間とする。

(u、v)⊂[ξ、b] を互いに素な開区間とする。

いま、|f(s)−f(t)|+|f(u)−f(v)|≦V(f、a、b) である。

よって、V(f、a、ξ)+V(f、ξ、b)≦V(f、a、b) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(s、t)⊂[a、ξ] を互いに素な開区間とする。

いま、ある i が一意に存在して、s≦ξ≦t となる。

また、|f(s)−f(t)|≦|f(s)−f(ξ)|+|f(ξ)−f(t)|である。

よって、明らかに、V(f、a、b)≦V(f、a、ξ)+V(f、ξ、b) である。

P4 ( ジョルダンの分解定理 )

f:[a、b]→ を関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は有界変動である。

(2) ある単調増加関数 g、h が存在して、f=g−h となる。

証明

(1)を仮定する。

g(x)=V(f、a、x) とおく。

いま、g は単調増加である。(※P3)

h=g−f とおく。

x<y とすると、次が成り立つ。(※P3)



よって、h は単調増加である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

(s、t)⊂[a、b] を互いに素な開区間とする。

いま、次が成り立つ。(※P2)



よって、f は有界変動である。

定義 ( 不定積分 )

f:[a、b]→ を可積分関数とする。

次のように定義する。



このとき、F を 『 f の不定積分 』 という。

定義 ( 絶対連続 )

f:[a、b]→ を関数とする。

任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、互いに素な開区間 (s、t) ; i=1、・・・、n に対し、次が成り立つ。



このとき、「 f は絶対連続である 」 という。

とくに、n=1 とすると、これは 『 一様連続 』 と一致する。

つまり、「 絶対連続 ⇒ 一様連続 ⇒ 連続 」 である。

P5

不定積分は絶対連続である。

証明

F を f の不定積分とする。

ε>0 とおく。

いま、ある δ>0 が存在して、互いに素な開区間 (s、t) に対し、次が成り立つ。(※P1)



よって、



よって、F は絶対連続である。

P6 ( f’が有界 ⇒ 絶対連続 )

f:[a、b]→ を関数とする。

f は [a、b] 上で微分可能であるとする。

f’ は [a、b] 上で有界であるとする。

このとき、f は絶対連続である。

証明

いま、ある定数 M>0 が存在して、|f’(x)|≦M である。

ε>0 とおく。

(s、t)⊂[a、b] を互いに素な有限個の開区間とする。

いま、ある s<ξ<t が存在して、次を満たす。(※平均値の定理)

(*) |f(t)−f(s)|=(t−s)|f’(ξ)|<M(t−s

ここで、δ=ε/M とおく。

いま、1≦i≦n(t−s)<δ ⇒ 1≦i≦n|f(t)−f(s)|<ε である。

つまり、f は絶対連続である。

P7 ( 絶対連続 ⇒ 有界変動 )

f:[a、b]→ を絶対連続な関数とする。

このとき、f は有界変動である。

証明

いま、互いに素な開区間(s、t)⊂[a、b] が存在して、次を満たす。

(*) (t−s)<δ ⇒ |f(s)−f(t)|<1

k>0 を整数とする。

ただし、(b−a)/k<δであるとする。

a=x<x<・・・<x=b を [a、b] の k 等分とする。

いま、xi+1−x<δ である。

よって、(*)より、V(f、x、xi+1)≦1 である。

よって、V(f、a、b)=0≦i≦kV(f、x、xi+1)≦k・1=k<∞ である。

つまり、f は有界変動である。

定義 ( ヴィタリ被覆 )

を区間の集合とする。( 開区間、閉区間、半開区間のどれでもよい )

A⊂ を集合とする。

任意の x∈A、ε>0 に対し、ある V∈ が存在して、次を満たすとする。

(*1) x∈V

(*2) μ(V)<ε

このとき、 を 『 A のヴィタリ被覆 』 という。

P8 ( ヴィタリの被覆定理 )

μ を外測度とする。

A⊂ を集合とする。

μ(A)<∞ であるとする。

を A のヴィタリ被覆とする。

このとき、任意の ε>0 に対し、互いに素な区間 V、・・・、V が存在して、

証明

これの証明は長くなるので省略する。

ちなみに、この定理については多種多様な証明法が知られている。

定義 ( ディニ導関数 )

f:I→ を関数とする。

次のように定義する。



これらを総称して 『 ディニ導関数 』 という。

次のようにおく。



いま、c(x)≧c(x)≧・・・である。

また、Df(x)=limn→∞(x) である。

明らかに、Df(x)≦Df(x) であり、Df(x)≦Df(x) である。

よく知られている微分は Df(x)=Df(x) を意味する。

むろん、左微分は Df(x)=Df(x) を意味する。

また、微分の存在は、4つのディニ導関数が一致することを意味する。

参考

ディニ導関数は可測であることが知られている。

参考

次のように定義する。



いま、



同様に計算すると、Df(x)=Df(x) であり、Df(x)=Df(x) である。

むろん、Df(0)≠Df(0)より、f の微分は存在しない。

P9

f:I→ を関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Df(x)>a ⇒ ある数列 (x) が存在して、x↓x かつ f(x)−f(x)>a(x−x) となる。

(2) Df(x)<a ⇒ ある数列 (x) が存在して、x↓x かつ f(x)−f(x)<a(x−x) となる。

(3) Df(x)>a ⇒ ある数列 (x) が存在して、x↑x かつ f(x)−f(x)<a(x−x) となる。

(4) Df(x)<a ⇒ ある数列 (x) が存在して、x↑x かつ f(x)−f(x)>a(x−x) となる。

(1)の証明

いま、Df(x)>a である。

任意の n に対し、ある 0<h<1/n が存在して、f(x+h)−f(x)>ah となる。

ここで、x=x+h とおく。

いま、x↓x である。

また、x−x=h>0 である。

よって、f(x)−f(x)>a(x−x) である。

(2)〜(4)の証明

(1)と同様である。

P10

f:[a、b]→ を単調関数とする。

このとき、4つのディニ導関数はすべて有限な値に a.e.収束する。

証明

f が単調増加の場合について示す。(単調減少の場合は以下の議論を −f に適用すればよい )

いま、ディニ導関数はすべて ≧0 である。

よって、Df(x)<∞ (a.e.)、Df(x)<∞ (a.e.) を示せばよい。

1つ目の式を証明する。( 2つ目の式も同様に証明できる )

A={ x∈[a、b]:Df(x)=∞ } とおく。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

μ(A)>0 と仮定する。(背理法)

いま、ある定数 ξ>0 が存在して、μ(A)>ξ>0 となる。

また、ある定数 M>0 が存在して、f(b)−f(a)<ξM となる。

いま、任意の x∈A に対し、Df(x)=∞ である。

よって、ある数列 (tx、nn∈↓x が存在して、次を満たす。(※P9)

(*1) f(tx、n)−f(x)>M(tx、n−x)

いま、[x、tx、n] 全体は A のヴィタリ被覆である。

よって、互いに素な区間 [x、t];i=1、・・・、n が存在して次を満たす。(※ヴィタリの被覆定理)

(*2) μ(A∩∪1≦i≦n[x、t])>ξ

よって、1≦i≦n(t−x)=μ(∪1≦i≦n[x、t])>ξである。

よって、(*1)より、

(*3) 1≦i≦n(f(t)−f(x))>M1≦i≦n(t−x)>Mξ>f(b)−f(a)

これは f が単調増加であることに矛盾する。

P11 ( 単調関数は a.e.微分可能である )

f:[a、b]→ を単調関数とする。

このとき、f は a.e.微分可能である。

補足

かなり衝撃的な定理である。

これは 『 ルベーグの定理 』 と呼ばれることもある。

証明 ( 一見すると長く視えるかもしれないが、同じ議論の繰り返しなので見た目ほど面倒ではない )

f が単調増加関数である場合について示す。( 単調減少の場合は以下の議論を −f に適用すればよい )

明らかに、Df≦Df であり、Df≦Df である。

そこで、Df≦Df (a.e.) と Df≦Df (a.e.) を示せばよい。

そこで、1つ目の式を示す。(2つ目の式を同様に議論できる)

S={ x∈[a、b]|Df(x)<Df(x) } とおく。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

μ(S)>0 と仮定する。(背理法)

いま、S=∪{ x∈S|p、q∈、Df(x)<p<q<Df(x) } と表せる。

よって、ある p、q∈ ( ただし p<q ) が存在して、次を満たす。(※外測度の劣加法性)

(*1) A={ x∈S|Df(x)<p<q<Df(x) }

(*2) μ(A)>0

そこで、μ(A)=c とおく。

ε>0 とおく。

いま、ある開集合 U ( ただし A⊂U ) が存在して、μ(U)<c+ε となる。(※定義:外測度、定義:測度)(★)

また、任意の x∈A に対して Df(x)<p である。

よって、ある数列 (tn、xn∈↑x が存在して、次を満たす。(※P9)

(*3) [tn、x、x]⊂U

(*4) f(x)−f(tn、x)<p(x−tn、x

いま、[tn、x、x] 全体は A のヴィタリ被覆である。

よって、互いに素な区間 [t、x];i=1、・・・、n が存在して、次を満たす。(※ヴィタリの被覆定理)

(*5) μ(B)>c−ε、B=A∩∪1≦i≦n[t、x

よって、(★)、(*4)より、



y∈B ( ただし、任意の i に対して y≠t、x ) とおく。

いま、q<Df(y) である。

よって、ある数列 (sn、yn∈↓y が存在して、次を満たす。(※P9)

(*6) ある i に対し、[y、sn、y]⊂(t、x

(*7) f(sn、y)−f(y)>q(sn、y−y)

いま、[y、sn、y] は B のヴィタリ被覆である。

よって、互いに素な [y、s];j=1、・・・、m が存在して次を満たす。(※ヴィタリの被覆定理)

(*8) μ(B∩∪1≦j≦m[y、s])>μ(B)−ε>c−2ε

よって、(*6)、(*7)より、



いま、f は単調増加である。

よって、



よって、(**1)、(**2)より、



これは p<q に反する。

P12

(1) 有界変動な関数は a.e.微分可能である。

(2) 絶対連続な関数は a.e.微分可能である。

(1)の証明

明らかである。(※P4、P11)

(2)の証明

(1)より明らかである。(※P7)

P13

f:[a、b]→ を有界変動な関数とする。

このとき、f’は可積分である。

証明

f が単調増加である場合について証明すればよい。(※P4)

いま、a.e.で f’(x) が存在する。(※P11)

つまり、f’(x)≧0 (a.e.) である。

x>b に対し、f(x)=f(b) と定める。

また、次のように定める。



いま、f≧0 としてよい。( 微分不能な点での値は適当に決めてよい )

よって、次が成り立つ。(※ファトゥの補題)



また、次が成り立つ。(※ルベーグ積分の平行移動不変性)



よって、(*1)、(*2)より、



つまり、g’(x) は可積分である。

P14

f:[a、b]→ を可積分関数とする。

次のように定める。



このとき、次が成り立つ。

(1) F は a.e.微分可能である。

(2) F’=f (a.e.)

(1)の証明

明らかである。(※P5、P12)

(2)の証明

F’≦f (a.e.) を示せばよい。(逆の不等号は f を −f に置き換えて議論すればよい )

{ x∈[a、b]|f(x)<F’(x) } の測度 >0 であるとする。(背理法)

上記の集合は ∪{ x∈[a、b]|p、q∈、f(x)<p<q<F’(x) } と表される。

いま、ある p、q∈ が存在して、次を満たす。(※測度の劣加法性)

(*1) μ(S)>0、S={ x∈[a、b]:f(x)<p<q<F’(x) }

そこで、μ(S)=c とおく。

ε>0 とおく。

いま、ある δ>0 が存在して、次が成り立つ。(※P1)

(*2) μ(A)<δ、A⊂[a、b] ⇒ ∫|f(x)|dx<ε

また、ある開集合 U ( ただし S⊂U ) が存在して、次が成り立つ。(※定義:外測度、定義:測度)

(*3) μ(U)<c+δ

いま、任意の x∈S に対し、F’(x)>q である。

よって、ある [x、z]⊂U が存在して、次を満たす。

(*4) F(z)−F(x)>q(z−x)

このような [x、z] 全体は S のヴィタリ被覆である。

よって、有限個の区間 [x、z];i=1、・・・、n が存在して、次を満たす。(※ヴィタリの被覆定理)

(*5) μ(S∩B)>c−ε、B=∪1≦i≦n[x、z

いま、B⊂U である。

よって、(*3)より、μ(B−S)≦μ(U−S)=μ(U)−μ(S)<δ である。

よって、(*4)、(*5)より、



一方、(*5)より、



よって、q(k−ε)<pc+ε である。

これは p<q に反する。

P15

f:[a、b]→ を絶対連続関数とする。

f’=0 (a.e.) であるとする。

このとき、f は定値関数である。

証明

a≦ξ≦b とおく。

A={ x∈(a、ξ)|f’(x)=0 } とおく。

ε、η>0 とおく。

いま、ある δ>0 と、互いに素な区間 (c、d) が存在して、次を満たす。(※定義:絶対連続)

(*1) (d−c)<δ ⇒ |f(c)−f(d)|<ε

いま、任意の x∈A に対し、f’(x)=0 である。

よって、ある x<y<ξ が存在して、次を満たす。

(*2) f(y)−f(x)<η(y−x)

このような [x、y] 全体は A のヴィタリ被覆である。

よって、有限個の区間 [x、y] が存在して、次を満たす。(※ヴィタリの被覆定理)

(*3) μ(A∩∪1≦i≦n[x、y])>μ(A)−δ

ここで、a<x<y<x<y<・・・<x<y=ξとしてよい。(番号を付け替えるだけ)

B=∪1≦i≦n[x、y] とおく。

いま、[a、ξ]−B⊂([a、ξ]−A)∪(A−B) である。

また、μ([a、ξ]−A)=0 である。(※定理の仮定)

また、(*3)より、μ(A−B)=μ(A)−μ(A∩B)<δ である。

よって、μ([a、ξ]−B)<δ である。

よって、(x−a)+2≦i≦n(x−yi−1)+(ξ−y)=μ([a、ξ]−B)<δ である。

よって、(*1)より、|f(a)−f(x)|+2≦i≦n|f(x)−f(yi−1)|+|f(y)−f(ξ)|<ε である。

よって、(*1)、(*2)より、



よって、f(a)=f(ξ) である。

P16 ( 微分積分学の基本定理〜その1 )

f:[a、b]→ を関数とする。

[a、b] 上で f=F’ (a.e.) であるとする。

F は絶対連続であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

次のように定める。



いま、g’=f (a.e.) である。(※P14)

よって、(g−F)’=0 (a.e.) である。

よって、g(x)−F(x)=C ( C は定数 ) である。(※P15)

よって、C=−F(a) である。

よって、

P17 ( 微分積分学の基本定理〜その2 )

f:[a、b]→ を有界関数とする。

F:[a、b]→ を関数とする。

[a、b] 上で f=F’ であるとする。

このとき、次が成り立つ。

補足

リーマン積分の場合、これに相当する定理では f の連続性を仮定する必要がある。

一方、ルベーグ積分の場合はその条件が不要となる。

証明

明らかである。(※P16、P6)

P18

f:[a、b]→ を関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は可積分である。

(2) ある絶対連続関数 F:[a、b]→ が存在して、f=F’ (a.e.) となる。

証明

(1)を仮定する。

次のように定める。



いま、F は絶対連続である。(※P5)

また、f’=F (a.e.) である。(※P14)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、F は有界変動である。

よって、f=F’は可積分である。(※P13)