ルジンの定理

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P1 ( ルジンの定理 )

E⊂ を可測集合とする。

f:E→ を関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は可測である。

(2) 任意の ε>0 に対し、ある閉集合 H⊂E が存在して、μ(E−F)<ε かつ f|H は連続となる。

補足

f|H は、f の定義式を H に制限した関数である。

証明

(1)を仮定する。

まず、f が有界である場合について考える。

ε>0 とおく。

いま、ある単関数列 (φ) が存在して、|φ(x)−f(x)|<1/2 となる。(※道具)(★)

ここで、n を固定する。

いま、φ(E)={ c、・・・、c } である。

また、A=φ−1(c) は可測集合である。

よって、ある閉集合 K⊂A が存在して、μ(A−K)<ε/(m2) となる。(※A14:ルベーグ測度の正則性)

いま、φ|K は定数であるから、連続である。

よって、H=K∪・・・∪K に対し、φ|H は連続である。

また、μ(E−H)=μ(∪1≦i≦∞−H)=μ(∪1≦i≦∞−K)=1≦i≦∞μ(B−K)<ε/2 である。

ここで、H=∩1≦n≦∞ である。

いま、H は閉集合である。

また、μ(E−H)=μ(E−∩1≦n≦∞)=μ(∪1≦i≦∞(E−H))≦1≦n≦∞μ(E−H)<ε である。

いま、φ|H は連続である。

また、よく知られているように、連続関数列の一様収束の極限は連続関数である。

よって、(★)より、f|H は連続である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、f が有界でない場合について考える。

g(x)=tan−1(f(x)) と定義する。

明らかに、g は有界であり、可測である。

よって、上で示した結果を適用できる。

つまり、任意の ε>0 に対し、閉集合 H が存在して、条件を満たす。

いま、g|H は連続であり、f(x)=tan(g(x)) である。

よって、f|H も連続である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

A={ x∈E|f(x)≧c } とおく。

ε>0 とおく。

いま、ある閉集合 H⊂E が存在して、μ(E−H)<ε かつ f|H は連続である。

よく知られているように、連続関数による閉集合の逆像は閉集合となる。

よって、K={ x∈H|f(x)≧c }=A∩H は閉集合である。

一方、A−K=A−H⊂E−H である。

よって、μ(A−K)≦μ(A−H)=μ(A−H)<ε である。

よって、A は可測である。(※A14:ルベーグ測度の正則性)

つまり、f は可測である。