測度、零集合

サイトのTOP→理系インデックス
ルベーグ積分のTOP→ルベーグ積分インデックス





定義 ( 測度 )

μ:(μ)→[0、∞] を μ(A)=μ(A) で定義する。

このとき、μ を 『 測度 』 という。

つまり、測度とは、外測度の定義域を可測集合全体に制限したものである。

よって、外測度の単調性と可算劣加法性はそのまま測度に遺伝する。

定義 ( 零集合 )

μ:Pow()→[0、∞] を外測度とする。

A を の部分集合とする。

μ(A)=0 であるとする。

このとき、A を 『 零集合 』 という。

A8 ( 零集合の性質 )

(1) 零集合の部分集合は零集合である。

(2) 零集合は可測集合である。

(3) A、A、・・・が零集合ならば、∪1≦n≦∞ は零集合である。

(4) N が零集合ならば、μ(A∪N)=μ(A−N)=μ(A) である。

補足

(2)より、A5 の結果は測度に対しても成り立つ。

つまり、可算個の点の測度は 0 である。

(1)の証明

明らかである。(※A2)

(2)の証明

N を零集合とする。

いま、X∩N⊂N である。

よって、(1)より、μ(X∩N)=0 である。

いま、X−N⊂X である。

よって、μ(X−N)≦μ(X) である。(※A2)

以上により、μ(X)≧μ(X∩N)+μ(X−N) である。

つまり、N は可測集合である。

(3)の証明

いま、0≦μ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞μ(A)=0 である。(※A2)

つまり、μ(∪1≦n≦∞)=0 である。

(4)の証明

いま、μ(A)≦μ(A∪N)≦μ(A)+μ(N)=μ(A) である。(※A2)

つまり、μ(A)=μ(A∪N) である。

いま、A∪N=(A−N)∪N である。

よって、μ(A)=μ(A∪N)≦μ(A−N)+μ(N)=μ(A−N)≦μ(A) である。

つまり、μ(A)=μ(A−N) である。

A9

B⊂A であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) μ(A)=0 ⇒ 「 B は可測、μ(B)=0 」

(2) 「 μ(A)=μ(B)<∞ かつ B は可測 」 ⇒ 「 A は可測、A−B は零集合 」

(1)の証明

いま、B⊂A である。

よって、X∩B⊂A である。

よって、0≦μ(X∩B)≦μ(A)=0 である。

つまり、μ(X∩B)=0 である。

いま、X−B⊂X である。

よって、μ(X)≧μ(X∩B)+μ(X−B) である。

つまり、B は可測である。

つまり、B はμの定義域に属する。

いま、μ(B)≦μ(A) である。

よって、μ(B)=0 である。

(2)の証明

いま、B は可測である。

よって、μ(A)=μ(A∩B)+μ(A−B)=μ(B)+μ(A−B)である。

よって、μ(A−B)=0 である。

いま、A=B∪(A−B) である。

また、B と A−B は可測である。(※A8)

よって、A は可測である。(※A6)

A10 ( σ加法性 )

μ:(μ)→[0、∞] を測度とする。

、A、・・・を互いに素な可測集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) μ(1≦n≦∞)=1≦n≦∞μ(A

補足

σ加法性は外測度にはない性質で、測度の性質として最も重要である。

補足

=A、A=B、A=φ、A=φ、・・・ とおく。

すると、μ(A+B)=μ(1≦n≦∞)=1≦n≦∞μ(A)=μ(A)+μ(B)である。

つまり、有限加法性はσ加法性から自然に導かれる。

同様に、可算劣加法性から有限劣加法性が得られる。

補足

既に述べたように、測度は単調性と可算劣加法性をもつ。

それらの性質は、外測度の性質がそのまま測度に遺伝したことによる。

また、後で増加列連続性が示される。

一方、抽象論では、先にσ加法性を公理として認める。

そして、そこから次の手順で可算劣加法性を示す。

(*) σ加法性→有限加法性→単調性→有限劣加法性→増加列連続性→可算劣加法性

つまり、議論の順番が逆になっている。

なので、これで道に迷う人はいるかもしれない。

証明

、A、・・・を可測集合とする。

B=∪1≦n≦∞、B=∪1≦k≦n とおく。

=B−Bn−1 とおく。

いま、B は可測である。(※A6)

よって、C は可測である。(※A6)

よって、次が成り立つ。

(*) μ(X∩B)=μ(X∩B∩C)+μ(X∩B−C)=μ(X∩C)+μ(X∩Bn−1

上式の両辺を足し合わせると、μ(X∩B)=1≦k≦nμ(X∩C) である。

いま、X−B⊂X−B である。

よって、μ(X)=μ(X∩B)+μ(X−B)≧1≦k≦nμ(X∩C)+μ(X−B) である。

いま、A は互いに素であるから、C=A である。

よって、X=B とすると、μ(B)≧1≦k≦nμ(B∩A)=1≦k≦nμ(A) である。

いま、B は可測である。(※A6)

よって、μ(B)≧1≦k≦nμ(A) である。

よって、μ(B)≧1≦n≦∞μ(A) である。

一方、μ(B)≦1≦n≦∞μ(A) である。(※A2)

よって、μ(B)=1≦n≦∞μ(A) である。(※A2)

A11 ( 平行移動不変性 )

A、B を可測集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A⊂B ⇒ μ(A)+μ(B−A)=μ(B)

(2) 「 A⊂B かつ μ(A)<+∞ 」 ⇒ μ(B−A)=μ(B)−μ(A)

(3) A+c も可測であり、μ(A)=μ(A+c) である。

補足

(3)を 『 平行移動不変性 』 という。

(1)の証明

いま、A⊂B である。

よって、B=A∪(B−A)である。

いま、A∩(B−A)=φである。

つまり、B=A+(B−A)である。

よって、μ(B)=μ(A)+μ(B−A)である。(※A10)

(2)の証明

いま、μ(A)<+∞である。

そこで、(1)の両辺からμ(A)を引けばよい。

(3)の証明

次が成り立つ。(※A2)



よって、μ(X−c)=μ(X∩(A+c))+μ(X−(A+c)) である。

一方、μ(X)=μ(X−c) である。(※A2)

よって、μ(X)=μ(X∩(A+c))+μ(X−(A+c)) である。

つまり、A+c は可測である。

A12 ( 増加列連続性、減少列連続性 )

( n∈ ) に対し、次が成り立つ。

(1) A↑A ⇒ μ(A)↑μ(A)

(2) 「 A↓A かつ μ(A)<+∞ 」 ⇒ μ(A)↓μ(A)

補足

次のように表しても意味は同じである。

(*1) A⊂An+1 ⇒ limn→∞μ(A)=μ(limn→∞

(*2) An+1⊂A、μ(A)<+∞ ⇒ limn→∞μ(A)=μ(limn→∞

つまり、σ加法族では 『 集合列の極限 』 と 『 測度の極限 』 を交換できる。

また、S6 より、

(*3) A⊂An+1 ⇒ limn→∞=∪1≦n≦∞

(*4) An+1⊂A ⇒ limn→∞=∩1≦n≦∞

よって、例えば、(*1)の limn→∞ を ∪1≦n≦∞ に置き換えてよい。

(1)の証明

ある m∈ に対してμ(A)=∞ である場合を考える。

いま、μ(A)=∞ ( n≧m ) である。

よって、limn→∞μ(A)=∞ である。

一方、A⊂∪1≦n≦∞ である。

よって、μ(∪1≦n≦∞)≧μ(A)=∞ である。

また、A=∪1≦n≦∞ である。(※S6)

よって、μ(A)=∞ である。

よって、limn→∞μ(A)=μ(A)である。

明らかに、μ(A)は増大列である。(※A2(2))

よって、μ(A)↑μ(A)と表してよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

任意の n∈ に対してμ(A)<+∞ である場合を考える。

いま、∪1≦n≦∞=∪1≦n≦∞(A−An−1)である。( ただし A=φ )

明らかに、(An+1−A)∩(Am+1−A)=φ ( m≠n ) である。

つまり、∪1≦n≦∞1≦n≦∞(A−An−1)と表してよい。

以上により、次が成り立つ。(※A10、A11)



つまり、μ(A)↑μ(A)である。(※S6)

(2)の証明

=A−A とおく。

いま、B⊂B⊂・・・である。

よって、(1)より、次が成り立つ。(※A11)



一方、



よって、μ(A−∩1≦n≦∞)=μ(A)−limn→∞μ(A)である。

また、∩1≦n≦∞⊂A である。

よって、μ(∩1≦n≦∞)≦μ(A)<+∞ である。(※A2)

よって、μ(A−∩1≦n≦∞)=μ(A)−μ(∩1≦n≦∞)である。(※A11)

以上により、μ(A)−μ(∩1≦n≦∞)=μ(A)−limn→∞μ(A)である。

よって、limn→∞μ(A)=μ(∩1≦n≦∞)である。

つまり、μ(A)↓μ(A)である。(※S6)