外測度(いくつかの定義法と相関関係)

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参考

このページでは外測度について3つの定義を紹介し、相互関係を述べる。

注意

以下、集合 X の巾集合を Pow(X) と表す。

Pow(X)の代わりに、P(X) または 2 と表すこともある。

注意

[a、b)⊂ を 『 の半開区間 』 という。

また、[a、b)×・・・×[a、b)⊂ を 『 の半開区間 』 という。

I=[a、b)⊂ に対し、その長さを|I|=b−a と表す。

I=[a、b)×・・・×[a、b)⊂ に対し、その面積を|I|=(b−a)・・・(b−a) と表す。

定義 ( 外測度〜その1 )

μ:Pow()→[0、∞] を μ(A)=inf{ 1≦k≦∞|I|:A⊂∪1≦k≦∞、I は半開区間 } で定義する。

このとき、μ を 『 外測度 』 という。

定義 ( 外測度〜その2 )

μ:Pow()→[0、∞] を μ(A)=inf{ 1≦k≦∞|I|:A⊂∪1≦k≦∞、I は開区間 } で定義する。

このとき、μ を 『 外測度 』 という。

定義 ( 外測度〜その3 )

X を集合とする。

μ:Pow(X)→[0、∞] を関数とする。

次が成り立つとする。

(1) μ(φ)=0

(2) A⊂B ⇒ μ(A)≦μ(B)

(3) μ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞μ(A

このとき、μ を 『 外測度 』 という。

この外測度を 『 カラテオドリ外測度 』 と呼ぶことも多い。

抽象論ではこれを外測度の定義として採用する。

参考 ( ボレルの被覆定理 )

F を有界閉集合とする。

(Gλλ∈J を F の開被覆とする。

このとき、有限個の Gλ を選んで F を被覆できる。

証明

省略する。(※微分積分学や位相空間論などでよく知られている)

A1

I、I を左半開区間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) I⊂∪1≦k≦n ⇒ |I|≦1≦k≦n|I

(2) I⊂∪1≦n≦∞ ⇒ |I|≦1≦n≦∞|I

補足

(1)を次のように証明してもよい。( ただし、この方法は2次元以上の場合には成り立たない )

I=[a、b)、I=[a、b) とおく。

次のように仮定しても一般性を失わない。(※番号を付け替えるだけ)

(*1) a≦a≦b

(*2) ak+1<b≦bk+1 ( k=1、・・・、n−1 )

(*3) a≦b≦b

よって、b−a≦b−a=(b−a)+1≦k≦n−1(bk+1−b)≦1≦k≦n(b−a) である。

(1)の証明 ( この証明法は にも適用できる )

I=[a、b)、I=[a、b) とおく。

s を自然数とする。

N を、r/s∈I となる整数 r の個数とする。

を、r/s∈I となる整数 r の個数とする。

明らかに、N≦N+・・・+N である。(★1)

いま、ある整数 p、q が存在して次を満たす。

(*1) (p−1)/s<a≦p/s

(*2) q/s<b≦(q+1)/s

つまり、

(*3) sa≦p<sa+1

(*4) sb−1≦q<sb

いま、(*1)と(*2)より、N=q−p+1 である。

よって、(*3)と(*4)より、s(b−a)−1<N<s(b−a)+1 である。(★2)

同様に、s(b−a)−1<N<s(b−a)+1 である。(★3)

(★1)、(★2)、(★3)より、s(b−a)−1<1≦k≦s(s(b−a)+1) である。

つまり、b−a−1/s<1≦k≦n((b−a)+1/s) である。

s→+∞ とすると、b−a≦1≦k≦n(b−a) である。

(2)の証明 ( この証明法は にも適用できる )

1≦n≦∞|I|=∞ の場合は明らかである。

1≦n≦∞|I|<∞ の場合について考える。

I=[a、b)、I=[a、b) とおく。

ε>0 とおく。

η<min{ ε、b−a } とおく。

η<ε/2 とおく。

J=[a、b−η) とおく。

=[a、b−η] とおく。

=[a−η、b) とおく。

=(a−η、b) とおく。

いま、J⊂J⊂I である。

また、I⊂J である。

よって、J⊂∪1≦n≦∞ である。

いま、J は有界閉集合である。

また、J は開集合である。

よって、ある Jn(1)、・・・、Jn(N) が存在して、次を満たす。(※ボレルの被覆定理)

(*) J⊂Jn(1)∪・・・∪Jn(N)

よって、J⊂Jn(1)∪・・・∪Jn(N) である。

よって、(1)より、|J|≦|Jn(1)|+・・・+|Jn(N)|≦1≦n≦∞|J|である。

いま、0<|I|−|J|=η<ε である。

また、0<|J|−|I|=η<ε/2 である。

よって、



つまり、|I|≦1≦n≦∞|I|である。

参考

既に注意したように、上の定理は に対しても成り立つ。

第2章で登場する定理は基本的にすべて に拡張できる。

多変数の結果はフビニの定理などに応用される。

A2 ( 外測度の単調性、劣加法性、平行移動不変性 )

μ:Pow()→[0、∞] を定義(外測度〜その1) とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) μ(φ)=0

(2) A⊂B ⇒ μ(A)≦μ(B)

(3) μ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞μ(A

(4) μ(A)=μ(A+c) ( ただし、c は定数であって、A+c={ x+c|x∈A } である )

補足

つまり、定義(〜その1) は 定義(〜その3) の条件を満たしている。

定義(〜その3) は、定義(〜その1)の性質を公理として要請しているのである。

この意味で、抽象論と初等論は議論の順番が逆になっている。

補足

(2) を 『 単調性 』 という。

(3) を 『 可算劣加法性 』 という。

(4) を 『 平行移動不変性 』 という。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

1≦n≦∞μ(A)=∞ の場合は明らかである。

1≦n≦∞μ(A)<∞ の場合について示す。

いま、任意の n に対し、μ(A)<∞ である。

ε>0 とおく。

各 A に対し、次のような列 (Inp) を選ぶ。

(*1) A⊂∪1≦p≦∞np

(*2) 1≦p≦∞|Inp|<μ(A)+ε/2

よく知られているように、× は可算集合である。

つまり、(Inp) を並べ替えて、I、I、・・・としてよい。

いま、∪1≦n≦∞⊂∪1≦n≦∞ である。

よって、μ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞|I|である。

また、次が成り立つ。

(*3) 1≦k≦n|I|≦1≦n≦∞1≦p≦∞|Inp|<1≦n≦∞(μ(A)+ε/2)=1≦n≦∞μ(A)+ε

よって、μ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞|I|≦1≦n≦∞μ(A)+εである。

つまり、μ(∪1≦n≦∞)≦1≦n≦∞μ(A) である。

(4)の証明

明らかである。(※外測度)

A3

定義(外測度〜その1)と定義(〜その2)は同値である。

証明

μ:Pow()→[0、∞] を定義(〜その1)とする。

λ:Pow()→[0、∞] を定義(〜その2)とする。

A⊂∪1≦k≦∞ ( I の開区間 ) とする。

を、I にその境界を一部追加して得られる半開区間とする。

いま、1≦k≦∞|I|=1≦k≦∞|J|である。

また、∪1≦k≦∞⊂∪1≦k≦∞ である。

よって、λ(A)≦μ(A) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ε>0 とおく。

(ε) を、I を含む開区間で、体積が(1+ε)|I|となるものとする。

いま、μ(A)≦inf{ 1≦k≦∞|I(ε)|:A⊂∪1≦k≦∞(ε)} である。

つまり、μ(A)≦(1+ε)inf{ 1≦k≦∞|I|:A⊂∪1≦k≦∞ } である。

ε→0 とすると、μ(A)≦λ(A) である。

A4

次が成り立つ。

(1) μ(I)=|I| ( I は の半開区間 )

(2) μ[a、b)=b−a

(3) μ(a、b)=μ[a、b]=μ(a、b]=μ[a、b)=b−a

補足

ただし、μ[a、b] は μ([a、b]) を意味する。

他も同様である。

(1)の証明

明らかに、μ(I)≦|I|である。

μ(I)<|I|と仮定する。(背理法)

いま、ある開区間列 (I) が存在して、I⊂∪1≦k≦∞ かつ 1≦k≦∞|I|<|I|となる。

また、ある 0<ε<1 が存在して、1≦k≦∞|I|<|(1−ε)I|となる。

( ただし、(1−ε)I は、I の中心を固定して(1−ε)倍に拡大したものであるとする )

いま、(1−ε)I はコンパクトである。

また、(I) はその開被覆である。

よって、ある自然数 N が存在して、次を満たす。(※ボレルの被覆定理)

(*1) (1−ε)I⊂∪1≦k≦N

(*2) 1≦k≦N|I|<|(1−ε)I|

とくに、(*1)より、|(1−ε)I|≦1≦k≦N|I|である。(※A1)

これは(*2)に反する。

(2)の証明

I=[a、b) とおく。

いま、μ(I)≦|I|=b−a である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

I⊂∪1≦n≦∞ とする。

いま、|I|≦1≦n≦∞|I|である。(※A1)

よって、b−a≦μ(I) である。

(3)の証明

(1)より、μ(a、b)=b−a は分かっている。(※A3)

そこで、μ[a、b]=b−a を示す。

いま、(a、b)⊂[a、b] である。

よって、μ[a、b]≧μ(a、b)=b−a である。(※A2)(★1)

また、[a、b]⊂(a−1/n、b+1/n) である。

よって、μ[a、b]≦(b+1/n)−(a−1/n)=(b−a)+2/n である。

よって、μ[a、b]≦b−a である。(★2)

(★1)、(★2)より、μ[a、b]=b−a である。

つまり、μ(a、b)=μ[a、b]=b−a である。

よって、他の等式も成り立つ。(※A2)

A5

(1) 一点集合は外測度 0 である。

(2) 有限集合は外測度 0 である。

(3) 可算集合は外測度 0 である。( よって、とくに、 は外測度 0 である )

(1)の証明

c∈ とおく。( つまり、{c}は一点集合である )

いま、{c}⊂(1−ε、1+ε) である。

よって、μ({c})≦(c+ε)−(c−ε)=2ε である。(※A2)

よって、μ({c})=0 である。

(2)の証明

A={ c、・・・、c }⊂ を有限集合とする。

ε>0 とおく。

いま、A⊂∪1≦i≦n(c−ε/n、c+ε/n) である。

よって、μ(A)≦n(2ε/n)=2ε である。

よって、μ(A)=0 である。

(3)の証明

A={ c、c、・・・ }⊂ を可算集合とする。

ε>0 とおく。

いま、A⊂∪1≦n≦∞(c−ε/2、c+ε/2) である。

よって、μ(A)≦1≦n≦∞2(ε/2)=2εである。(※A2)

よって、μ(A)=0 である。